УРОК № 65
18.03.2024г. ГРУППА 406. МАТЕМАТИКА. ТЕМА «Сложение и умножение вероятностей»
Сложение вероятностей
События являются несовместными, или несовместимыми, если появление одного из них исключает появление другого.
Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т. е. P(A+B)=P(A)+P(B).
Пример:
в ящике находятся 9 шаров, среди них 2 белых, 3 красных и 4 зелёных. Наугад берётся один шар. Найди вероятность того, что вынули красный или зелёный шар.
1способ. Пусть событие A — появление красного шара, событие B — появление зелёного шара, тогда событие (A+B) — появление цветного шара. Очевидно, что P(A)= 3 /9 = 1/3 ; P(B)= 4/9
Так как события A и B несовместны, к ним применима теорема сложения вероятностей: P(A+B)=P(A)+P(B)= 1/3 +4/9 =7/9
Ответ: 7/9
Следствие. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице, т. е.
P(A)+P(A¯)=1.
Теорема
Для нахождения вероятности противоположного события следует из единицы вычесть вероятность самого события: P(A) = 1-P(A).
Пример:
в ящике находятся 9 шаров, среди них 2 белых, 3 красных и 4 зелёных. Наугад берётся один шар. Найди вероятность того, что вынули красный или зелёный шар.
2 способ. Пусть событие C состоит в том, что вынули белый шар. Тогда противоположное ему событие C¯ состоит в том, что вынули не белый шар, то есть красный или зелёный. Очевидно, что P(C)= 2/9, а согласно следствию из теоремы имеем P(C¯)=1−P(C)=1− 2/9 = 7/9
Ответ: 7/9
Умножение вероятностей
Два события (A) и (B) называют независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от появления или не появления другого события.
Если события A и B независимы, то вероятность их одновременного наступления равна произведению вероятностей событий A и B
.Пример:
в случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Какова вероятность того, что решка выпадет оба раза?
Решение. Результат второй монеты не зависит от результата первой монеты и наоборот, поэтому события являются независимыми. Выпадение решки при одном подбрасывании монеты равно 1/2 , при втором подбрасывании — тоже 1/2. Вероятность того, что решка выпадет два раза, равна 1/2 1/2 = 1/4
Ответ: 1/4
2. Запишите правила сложения и умножения вероятностей.
18.03.2024г. МАТЕМАТИКА. Группа 406. Тема « СОБЫТИЯ. ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЫТИЙ»
. В повседневной жизни, в практической и научной деятельности мы часто наблюдаем те или иные явления, проводим определенные эксперименты.
Событие, которое может произойти, а может не произойти в процессе наблюдения или эксперимента, называют случайным событием. Закономерности случайных событий изучает специальный раздел математики, который называется теорией вероятностей.
Прозвенел звонок, выпал снег, черный кот перебежал дорогу – все это события. Каждое из них при одних условиях могло произойти, при других – нет. Поэтому, эти события называют случайными.
Приведите примеры случайных событий.
Приведите примеры маловероятных событий, очень вероятных, достоверных событий, невозможных.
Какие из приведенных событий являются достоверными, а какие невозможными:
а) крокодил научился петь;
б) индюки полетят в теплые края;
в) после марта наступит апрель;
г) завтра наступит суббота;
д) в следующем году твой день рождения придется на среду;
е) брошенный тобой камень долетит до стратосферы?
Два события, которые в данных условиях могут происходить одновременно, называются совместными, а те, которые не могут происходить одновременно, - несовместными.
Примеры 1.
Из ящика с деталями наудачу извлечена деталь. Появление стандартной детали исключает появление нестандартной детали. События «появилась стандартная деталь» и «появилась нестандартная деталь» - несовместные.
Брошена монета. Появление «герба» исключает появление надписи. События «появился герб» и «появилась надпись» - несовместные.
Ваши примеры..
Равновозможными называются события, когда в их наступлении нет преимуществ.
Не равновозможные события те, у которых в наступлении одного из событий есть какое-то преимущество.
Примеры 2.
Появление герба или надписи при бросании монеты представляют собой равновероятные события.
Пусть бросают игральную кость. В силу симметрии кубика можно считать, что появление любой из цифр 1, 2, 3, 4, 5 или 6 одинаково возможно (равновероятно).
Ваши примеры.
Событие, которое происходит всегда, называют достоверным.
Вероятность достоверного события равна 1.
Событие, которое не может произойти, называется невозможным.
Вероятность невозможного события равна 0.
Примеры 3.
В следующем году снег не выпадет. При бросании кубика выпадет семерка. Это невозможные события.
В следующем году снег выпадет. При бросании кубика выпадет число, меньше семи. Ежедневный восход солнца. Это достоверные события.
Пусть, например, из урны, содержащей только черные шары, вынимают шар. Тогда появление черного шара – достоверное событие; появление белого шара – невозможное событие.
Приведите примеры достоверных и невозможных событий.
Занимательная пятиминутка.
Если монету, например рубль, подбросить вверх и позволить ей упасть на пол, то возможны только два исхода: «монета упала гербом вверх» и «монета упала решкой вверх». Случай, когда монета падает на ребро, подкатывается к стене и упирается в нее, бывает очень редко и обычно не рассматривается.
Издавна в России играли в «орлянку» – подбрасывали монету, если надо было решить спорную проблему, у которой не было очевидно справедливого решения, или разыгрывали какой-нибудь приз. В этих ситуациях прибегали к случаю: одни загадывали выпадение «орла», другие – «решки».
К подбрасыванию монеты иногда прибегают даже при решении весьма важных вопросов.
Например, полуфинальный матч на первенство Европы в 1968 году между командами СССР и Италии закончился вничью. Не выявился победитель ни в дополнительное время, ни в серии пенальти. Тогда было решено, что победителя определит его величество случай. Бросили монету. Случай был благосклонен к итальянцам.
ЗАДАНИЕ:
1. Решите задачи
1.Каким (достоверным, невозможным или случайным) является событие:
- Изъятая из колоды одна карта оказалась дамой пик;
- При комнатной температуре и нормальном атмосферном давлении вода оказалась в парообразном состоянии;
- Наугад названное натуральное число оказалось меньше нуля;
- При температуре +20 0 С и нормальном давлении золото оказалось в жидком состоянии.
- В результате броска игрального кубика появилось число 8?
2.Перечислите все элементарные события (равновозможные, не равновозможные, несовместные), которые могут произойти в результате следующего испытания:
Бросается на стол игральный кубик и определяется число очков, появившееся на верхней грани;
Бросается монета и определяется видимая сторона;
Из всех карт одной масти случайным образом выбирается одна карта и определяется изображение на ней;
На пол роняют усечённый конус, выточенный из дерева, и определяют геометрическую фигуру, по которой упавший конус касается пола;
На поверхность стола бросается игральный тетраэдр (грани которого пронумерованы числами 1,2,3,4) и определяется число на той грани, которая лежит на поверхности стола.
2.Запишите конспект сообщения, выделив определения
УРОК № 62-63
18.03.2024 ГРУППА 406. МАТЕМАТИКА. ТЕМА «Элементы комбинаторики: перестановки, сочетания и размещения.»
Основная часть
Определение: Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.
Слово «комбинаторика» происходит от латинского слова «combinare», что в переводе на русский означает – «сочетать», «соединять». Комбинаторные задачи возникли и в связи с такими играми, как шашки, шахматы, домино, карты, кости и т.д.
Термин "комбинаторика" был введён знаменитым Готфридом Вильгельмом Лейбницем, - всемирно известным немецким учёным.
Комбинаторные задачи делятся на :задачи на перестановки, задачи на размещение, задачи на сочетание
Определение: Факториал – это произведение всех натуральных чисел от 1 до n.
Обозначение: n! = 1 · 2 · 3 · ... · n. Читается: «эн факториал».
Пример: 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24.
Кроме того: 0! = 1.
Задачи на перестановки
1.Сколькими способами можно расставить 3 различные книги на книжной полке?
Это задача на перестановки.
Решение: Выбираем одну из 3-х книг и ставим на первое место. Это можно сделать 3-мя способами.
Вторую книгу мы можем выбрать из 2-х оставшихся двумя способами, получаем 3·2 способов.
Третью книгу мы можем выбрать 1 способом.
Получится 3·2·1=6 способов.
Ответ: 6.
Определение: Перестановками из n элементов называются комбинации из n элементов, отличающиеся друг от друга только порядком расположения в них элементов.
Формула Pn = n!
Типичная смысловая нагрузка: «Сколькими способами можно переставить n объектов?»
Пример 1. Сколькими способами можно расставить 8 участников финального забега на восьми беговых дорожках?
Решение: P8= 8!=1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 ∙ 7 ∙ 8 = 40320.
Ответ: 40320.
Пример 2. Сколькими способами можно составить расписание на один день, если в этот день предусмотрено 6 уроков по 6 разным предметам?
Решение: P6= 6!=1 ∙2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 = 720.
Ответ: 720.
Пример 3. Сколькими различными способами можно разместить на скамейке 10 человек?
Решение: P8= 8!=1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 ∙ 7 ∙ 8 ∙ 9 ∙ 10 = 3628800.
Ответ: 3628800.
Пример 4. Сколько слов можно получить, переставляя буквы в слове Гора?
Решение: P4= 4!=1 ∙2 ∙ 3 ∙ 4 = 24.
Ответ: 24.
Пример 5. Сколько различных шестизначных чисел, кратных 5, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 при условии, что цифры в числе не повторяются?
Решение: Чтобы число было кратным 5, цифра 5 должна стоять на последнем месте. Остальные цифры могут стоять на оставшихся пяти местах в любом порядке. Следовательно, искомое количество шестизначных чисел, кратных 5, равно числу перестановок из 5 элементов, т.е.
P5= 5!=1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 = 120.
Ответ: 120.
Задачи на размещения
1.Имеется 5 книг и одна полка, такая что на ней вмещается лишь 3 книги.
Сколькими способами можно расставить на полке 3 книги?
Это задача на размещение.
Решение: Выбираем одну из 5-ти книг и ставим на первое место на полке. Это можно сделать 5-ю способами.
Вторую книгу мы можем выбрать 4-мя способами и поставить рядом с одной из 5-ти возможных первых.
Таких пар может быть 5·4.
Третью книгу мы можем выбрать 3-мя способами.
Получится 5·4·3 разнообразных троек. Значит всего способов разместить 3 книги из 5-ти 5·4·3 = 60.
Ответ: 60.
Определение: Размещением из n элементов по k (k≤n) называется любое множество, состоящее из k элементов, взятых в определённом порядке из данных n элементов.
Формула: A = m! /(m –n)!
Типичная смысловая нагрузка: «Сколькими способами можно выбрать k объектов и в каждой выборке переставить их местами?»
Пример 1. Учащиеся второго класса изучают 9 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нём было 4 различных предмета?
Решение:
Ответ: 3024.
Пример 2. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 2, 4, 6, 7, 9?
Решение:
Ответ: 60.
Пример 3. В соревнованиях высшей лиги по футболу участвуют 18 команд. Борьба идет за золотые, серебряные и бронзовые медали. Сколькими способами могут быть распределены медали между командами?
Решение:
Ответ: 4896.
Пример 4. Сколькими способами можно опустить 5 писем в 11 почтовых ящиков, если в каждый ящик опускают не более одного письма?
Решение:
Ответ:55440.
Пример 5. Боря, Дима и Володя сели играть в карты. Сколькими способами им можно сдать по одной карте? (колода содержит 36 карт)
Решение:
42840– способами можно раздать 3 карты игрокам.
Ответ: 42840.
Пример 6. В пассажирском поезде 9 вагонов. Сколькими способами можно рассадить в поезде 4 человека, при условии, что все они должны ехать в различных вагонах?
Решение:
3024– способами можно рассадить в поезде 4 человека.
Ответ: 3024.
Задачи на сочетания
Сколькими способами можно расставить 3 тома на книжной полке, если выбирать их из имеющихся в наличии внешне неразличимых 5 книг?
Это задача на сочетания.
Решение: Книги внешне неразличимы. Но они различаются, и существенно! Эти книги разные по содержанию. Возникает ситуация, когда важен состав элементов выборки, но несущественен порядок их расположения.
123 124 125 134 135 145
234 235 245
345
Ответ: 10.
Определение: Сочетанием из n элементов по k (k<n) называется любое множество, составленное из k элементов, выбранных из данных n элементов (не имеет значения, в каком порядке указаны элементы).
Формула: Сmn = Аmn / Pn
Типичная смысловая нагрузка: «Сколькими способами можно выбрать k объектов из n?»
Пример 1. В классе 7 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?
Решение:
Ответ: 21.
Пример 2. На тренировках занимаются 12 баскетболистов. Сколько может быть организовано тренером разных стартовых пятерок?
Решение:
Ответ: 792.
Пример 3. В ящике находится 15 деталей. Сколькими способами можно взять 4 детали?
Решение:
Ответ: 1365.
Пример 4. Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать 3 карты?
Решение:
Ответ:7140.
Пример 5. Для участия в команде тренер отбирает 5 мальчиков из 10. Сколькими способами он может сформировать команду, если 2 определенных мальчика должны войти в команду?
Решение: Т.к. двое мальчиков войдут в команду, то остается отобрать 3 из 8. Для выборки важен только состав (по условию все члены команды не различаются по ролям).
Ответ: 56.
Пример 6. В шахматном турнире принимали участие 15 шахматистов, причем каждый из них сыграл только одну партию с каждым из остальных. Сколько всего партий было сыграно в этом турнире?
Решение: В одной игре участвуют 2 человека, следовательно, нужно вычислить, сколькими способами можно отобрать 2-х человек из 15, причем порядок в таких парах не важен.
Ответ: 105.
Пример 7. Сколько различных дробей можно составить из чисел 3, 5, 7, 11, 13, 17 так, чтобы в каждую дробь входили 2 различных числа? Сколько среди них будет правильных дробей?
Решение: Различных дробей из 6 чисел: 3, 5, 7, 11, 13, 17 можно составитьштук ( способами выбираем два числа из 6, и двумя способами составляем из них дробь, сначала одно число – числитель, другое – знаменатель и наоборот).
Из этих 30 дробей 15 будут правильные.
Ответ: 30; 15.
Пример 8. Боря, Дима и Володя сели играть в карты. Сколькими способами им можно сдать по одной карте? (колода содержит 36 карт)
Решение:
– способами можно извлечь 3 карты из колоды. Теперь рассмотрим, какую-нибудь одну из семи тысяч ста сорока комбинаций, например: король пик, 9 червей , 7 червей. Эти 3 карты можно «переставить» между Борей, Димой и Володей P3=3!=6способами. Тогда способами можно сдать по одной карте 3-м игрокам.
Ответ:42840.
Получили формулу: Cmn = m! / (m-n)! n!
Правило сложения комбинаций
Знак «плюс» следует понимать и читать как союз ИЛИ.
Формула: Сmn + Cmn+1 = Cm +1n+1
Задача. Студенческая группа состоит из 23 человек, среди которых 10 юношей и 13 девушек. Сколькими способами можно выбрать 2-х человек одного пола?
Решение: Условие «выбрать 2-х человек одного пола» подразумевает, что необходимо выбрать двух юношей или двух девушек:
– способами можно выбрать 2-х юношей;
– способами можно выбрать 2-х девушек;
Таким образом, двух человек одного пола (без разницы – юношей или девушек) можно выбрать: способами.
Ответ:123.
Пример 1. В группе 9 человек. Сколько можно образовать разных подгрупп при условии, что в подгруппу входит не менее 2 человек?
Решение: Не менее 2-х человек, т.е. 2+7 или 3+6 или 4+5 человек (5+4, 6+3, 7+2 – те же самые комбинации).
В каждой выборке важен только состав, т.е. члены подгруппы не различаются по ролям, т.е. выборки – сочетания из nразличных элементов по mэлементов.
Число выборов из 2-х человек:
Число выборов из 3-х человек:
Число выборов из 4-х человек:
Применяем правило сложения: способов.
Ответ: 246.
Правило умножения комбинаций
Знак «умножить» следует понимать и читать как союз И.
Задача. Студенческая группа состоит из 23 человек, среди которых 10 юношей и 13 девушек. Сколькими способами можно составить пару из юноши и девушки?
Решение:
– способами можно выбрать 1 юношу;
– способами можно выбрать 1 девушку.
Таким образом, 1-го юношу и 1 девушку можно выбрать: способами.
Ответ:130.
Пример 1. Предприятие может предоставить работу по одной специальности 4 женщинами, по другой – 6 мужчинам, по третьей – 3 работникам независимо от пола. Сколькими способами можно заполнить вакантные места, если имеются 14 претендентов: 6 женщин и 8 мужчин?
Решение: Имеем 14 претендентов и 13 рабочих мест. Сначала выберем работников на первую специальность, то есть 4 женщин из 6:
Далее выберем мужчин на вторую специальность:
Осталось 2 женщины, 2 мужчин и 3 вакантных места, которые, по условию, могут занять любые из четырех оставшихся человек.
Это может быть сделано 2 вариантами:
1. 1 женщина и 2 мужчин (выбираем женщину способами)
2. 1 мужчина и 2 женщины (выбираем мужчину способами).
В итоге получаем 15 · 28 · (2+2)=1680.
Ответ: 1680.
Пример 2. Группу из 20 студентов нужно разделить на 3 бригады, причем в первую бригаду должны входить 3 человека, во вторую – 5 и в третью – 12. Сколькими способами это можно сделать.
Решение: Создавая первую бригаду, отбирают 3 человека из 20, создавая вторую – 5 из оставшихся 17, создавая третью – 12 из оставшихся 12. Для выборок важен только состав (роли членов бригады не различаются).
Создавая сложную выборку (из 3-х бригад), воспользуемся правилом умножения:
способов.
Ответ: 7054320.
Пример 3. Сколькими способами может быть сдана выигрышная комбинация из 2-х карт при игре в «очко»?
Для тех, кто не знает: выигрывает комбинация 10 + ТУЗ (11 очков) = 21 очко и будем считать выигрышной комбинацию из 2-х тузов.
Решение:
способами может быть сдана десятка и туз («каждая десятка с каждым тузом»);
способами может быть сдана пара тузов.
Итого: выигрышные комбинации.
Ответ: 22.
Пример 4. Сколько существует трёхзначных чисел, которые делятся на 5?
Решение:
В разряде сотен можно записать любую из цифр.
В разряде десятков можно выбрать любую из 10 цифр:
По условию, число должно делиться на 5. Число делится на 5, если оно заканчивается на 5 либо на 0. Таким образом, в младшем разряде нас устраивают 2 цифры.
Итого, существует: трёхзначных чисел, которые делятся на 5.
Ответ: 180.
ЗАДАНИЕ:
1. Запишите определения : перестановки, сочетания и размещения; их формулы.
2. Выпишите формулы сложения и умножения комбинаций.
3. Решите задачи, которые есть в тексте:
На размещение – 1 – 6
На сочетания 1 – 6, 8.
УРОК №61
18.03.2024г. Группа 406. МАТЕМАТИКА. ТЕМА. «Бином Ньютона. Свойства биноминальных коэффициентов»
На прошлом уроке мы познакомились с основами комбинаторики. Какие же ученые внесли вклад в развитие комбинаторики как науки? Одним из выдающихся умов того времени был английский ученый Исаак Ньютон.
Бином Ньютона. .Слово бином означает «Два числа». В математике биномом называют «формулу для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных». Давайте вслед за Ньютоном попробуем ее вывести, чтобы затем применять. Вы, наверняка, помните (или, по крайней мере, должны помнить), формулы сокращенного умножения для квадрата и куба суммы двух слагаемых (такая сумма называется «бином», по-русски – двучлен.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Если вы забыли эти формулы, можно их получить напрямую, раскрыв скобки в очевидных ра
(a + b)4 = (a + b)(a + b)3 = (a + b) (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3)= a4 +4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
Теперь отдельно выпишем численные коэффициенты в правых частях формул при возведении бинома в заданную степень:
Возможно, вы уже догадались, что «рояль в кустах» – это треугольник Паскаля на предыдущей странице. Легко проверить, что выписанные на численные коэффициенты – это строчки треугольника Паскаля, начиная с третьей. Этот «усеченный треугольник», в котором не хватает первых двухстрок, легко сделать полным (получить строчки при
Окончательно получим:
Это утверждение было известно задолго до Паскаля - его знал живший в XI-XII вв. среднеазиатский математик и поэт Омар Хайям (к сожалению, его сочинение об этом до нас не дошло). Первое, дошедшее до нас описание формулы бинома Ньютона содержится в появившейся в 1265 г. книге среднеазиатского математика ал-Туси, где дана таблица чисел (биномиальных коэффициентов).
Европейские ученые познакомились с формулой бинома Ньютона, по-видимому, через восточных математиков. Детальное изучение свойств биномиальных коэффициентов провел французский математик и философ Б. Паскаль в 1654 г..
Теперь понятно, как возвести бином в любую степень n. В левой части записываем (а+b)n. А в правой части записываем сумму аn + an-1b+ … + bn , оставляя в каждом слагаемом место для коэффициента. И эти места заполняем числами из n–ой строчки треугольника Паскаля, которую, конечно, нужно заранее выписать.
Возведение двучлена a + b в степень n может быть произведено по формуле называемой разложением бинома Ньютона:
.(a +b)m = C0m am + C1m am-1b + C2m am-2 b2 + … Cnm am-n bn + … + Cmm-1 abm-1 + Cmm bm
Данную формулу называют биномом Ньютона, а числа Сmn – биномиальными коэффициентами, которые могут быть найдены по формуле
Сmn = m!/(m-n)! n!
Пример:
(a + b)5 = a5 + C15 a4 b + C25 a3b2 + C35 a2 b3 + C45 ab4 + C55 b5 = a5 + 5a4 b+ 10 + 10a2 b3 + 5ab4 + b5
Таким образом можно записать формулу для возведения двучлена в любую степень. Давайте заметим некоторые свойства у слагаемых в разложении двучлена по формуле Бинома Ньютона.
Свойства бинома Ньютона
1) Число слагаемых на 1 больше степени бинома.
2) Коэффициенты находятся по треугольнику Паскаля или равны числу сочетаний Сnm, где n – степень двучлена , m – переменная величина, пробегающая значения от 0 до n и соответствующая степени второго выражения.
3) Коэффициенты симметричны.
4) Если в скобке знак минус, то знаки + и – чередуются.
5) Сумма степеней каждого слагаемого равна степени бинома.
6) Сумма коэффициентов разложения ( a + b)n равна 2n .
Мы знакомились с вами с применением бинома Ньютона при изучении формул сокращенного умножения.
ЗАДАНИЕ:
1. Внимательно прочтите сообщение. Выпишите определение Бинома и формулу бинома Ньютона.
2. Выпишите свойства бинома Ньютона
3. Записать разложение бинома:
А) (1 +х)8; б) (3х +2)4; в) (3х – 1/3)5
Комментариев нет:
Отправить комментарий