11.01.2022г. ГРУППА 206.Тема: «Задачи на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний».

Решение задач:

№1. Экзамен состоит из 5 задач, которые можно решать в любом порядке. Сколькими способами можно расставить задачи. (

способов)

№2. В магазине продается 8 различных наборов марок, посвященных спортивной тематике. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора. (

способа)

1. Перестановка

Рассмотрим слово «КВАНТ», состоящее из 5 различных букв. Если менять порядок букв, получим 5!=120 перестановок

Если проделать то же самое со словом «АТАКА», то перестановок будет меньше, потому что, меняя местами 1,3 и 5-ю буквы, будем получать то же самое слово. Т.к. три буквы А можно менять местами 3!=6 способами, то перестановок будет в слове «АТАКА» в 6 раз меньше, т.е. 20

Вывод: Перестановками в такой выборке, где есть один элемент, называются перестановками с повторениями. Обозначается : Р_{(n1, n2,….., nk)}

Р(n₁, n₂,….., n_{k   )  =}    

                            , где n- количество повторений элементов                                

Задача: Сколько различных перестановок можно сделать из букв слова «МАТЕМАТИКА»

Решение:

Всего – 10 букв

«М» - 2 повтора

«А» - 3 повтора

«Т» - 2 повтора

«Е» - 1 повтор

«И» - 1 повтор

«К»- 1 повтор

перестановки

Ответ: 151200 перестановки

2. Сочетания.

Рассмотрим следующую задачу.

В почтовом отделении продаются открытки 10 сортов. Сколькими способами можно купить 8 различных открыток?

Решение. Данная задача на отыскание числа сочетаний без повторений, т.к. требуется купить 8 различных открыток

Ответ: 45 способов

Проделаем то же самое, но только определим «Сколькими способами можно купить в нем 8 открыток?

Решение.

Данная задача на отыскание числа сочетаний с повторениями из n = 10 элементов по k =8. Следовательно, она решается по формуле

Ответ : 24310 способов

Вывод: Иными словами, выборки которые отличаются количеством элементов хотя бы одного типа, называются сочетаниями с повторениями, а их общее число будем обозначать 

Задача: В кондитерской имеется 3 вида пирожных. Сколькими способами можно купить 9 пирожных?

Решение. В задаче требуется найти число всевозможных групп по 9 элементов, которые можно составить из данных трех различных элементов, причем указанные элементы в каждой группе могут повторяться, а сами группы отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. Это задача на отыскание числа сочетаний с повторениями из трех элементов по девять. Следовательно,

3.     Размещения.

Рассмотрим задачу:

В лифт восьмиэтажного дома вошли 5 пассажиров. Сколькими различными способами могут выйти пассажиры на каждом этаже, начиная со второго?

способов

А теперь ту же задачу, но вопрос сформулируем иначе.

В лифт восьмиэтажного дома вошли 5 пассажиров. Сколькими способами могут выйти пассажиры на каждом этаже, начиная со второго?

Задача такого вида называется «размещения с повторением», обозначается  

и вычисляется по принципу умножения.  Вычисляется по следующей формуле:

Решение. Задача сводится к распределению 5 пассажиров по 7 этажам (т. е. набор упорядоченный), причем возможны повторения (т. е. несколько пассажиров могут выйти на одном этаже). Таким образом, задача сводится к нахождению числа размещений с повторениями:

Задача: Сколькими способами девочка Яна может разложить 12 кукол по трём ящикам, ЕСли каждый ящик может вместить все куклы?

Ответ: 3¹²

.Задача №1. Буквы азбуки Морзе состоят из символов – точка и тире. Сколько букв получим, если потребуем, чтобы каждая буква состояла не более чем из пяти указанных символов?

Решение. Число всех букв, каждая из которых записывается одним символом, равно 

Число всех букв, каждая из которых записывается двумя символами, равно 

Число всех букв, каждая из которых записывается тремя символами, равно 

Число всех букв, каждая из которых записывается четырьмя символами, равно 

Число всех букв, каждая из которых записывается пятью символами, равно 

Число всех указанных букв будет равно 62.

Задача №2. Сколько всего чисел (не больше 100000) можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 и 5 в каждом из которых цифры расположены в неубывающем порядке?

Решение. Это задача о числе сочетаний из пяти цифр по одному, по два, по три, по четыре и по пяти с повторениями в каждом случае. Поскольку  ,  ,

, то существует

 чисел, удовлетворяющих условию задачи.

ЗАДАНИЕ:

1. Выпишите  формулы нахождения: перестановок, размещения, соединения с повторениями и без.

2 Решите задачи:

1. Сколькими способами можно разместить 8 пассажиров по трем вагонам?

Ответ: .

2. Сколькими способами Буратино, кот Базилио и лиса Алиса могут поделить между собой 5 одинаковых золотых монет?

Ответ: .

3. Сколько различных браслетов можно сделать из 5 одинаковых изумрудов, 6 одинаковых рубинов и 7 одинаковых сапфиров ( всего в браслет входит 18 камней)?

  =



  

 

 

 

 10.01.2022г. ГРУППА 206. МАТМАТИКА ТЕМА «Комбинаторика - основные понятия и формулы. Перестановки, размещения, сочетания.  Основные понятия и формулы»

 Комбинаторикой называется раздел математики, изучающий вопрос о том, сколько комбинаций определенного типа можно составить из данных предметов (элементов).

 Правило умножения (основная формула комбинаторики)

Общее число N способов, которыми можно выбрать по одному элементу из каждой группы и расставить их в определенном порядке (то есть получить упорядоченную совокупность ( a b c d), равно:

N = n₁ ∙ n₂ ∙… n_n

 Пример 1

Монету подбросили 3 раза. Сколько различных результатов бросаний можно ожидать?

Решение

Первая монета имеет n₁ = 2 альтернативы – либо орел, либо решка. Для второй монеты также есть n₂  = 2  альтернативы и т.д., т.е. n₁ = n₂ =n₃ =2³ =8

Искомое количество способов:

N =n₁  +n₂ + …n_n

 Правило сложения

Если любые две группы A₁ и A₂ не имеют общих элементов, то выбор одного элемента или из A₁ , или из  A₂…или из A_k  можно осуществить  способами.

N = n₁ +n₂ + …n_k

Пример 2

На полке 30 книг, из них 20 математических, 6 технических и 4 экономических. Сколько существует способов  выбора одной математической или одной экономической книги.

Решение

Математическая книга может быть выбрана n₁ =20    способами, экономическая – n₂ =4 способами.

По правилу суммы существует  N способа выбора математической или экономической книги. N = n₁ +n₂ =20 + 4 =24

 Размещения и перестановки

 Размещения – это упорядоченные совокупности элементов, отличающиеся друг от друга либо составом, либо порядком элементов.

Размещения без повторений, когда отобранный элемент перед отбором следующего не возвращается в генеральную совокупность. Такой выбор называется последовательным выбором без возвращения, а его результат – размещением без повторений из n элементов по k .

Число различных способов, которыми можно произвести последовательный выбор без возвращения  элементов из генеральной совокупности объема , равно:

 Пример 3

Расписание дня состоит из 5 различных уроков. Определите число вариантов расписания при выборе из 11 дисциплин.

Решение

Каждый вариант расписания представляет набор 5 дисциплин из 11, отличающихся от других вариантов как составом, так и порядком следования. поэтому:

Перестановки – это упорядоченные совокупности, отличающиеся друг от друга только порядком элементов. Число всех перестановок множества из n  элементов равно  

Пример 4

Сколькими способами можно рассадить 4 человек за одним столом?

Решение

Каждый вариант рассадки отличается только порядком участников, то есть является перестановкой из 4 элементов:  

Размещения с повторениями, когда отобранный элемент перед отбором следующего возвращается в генеральную совокупность. Такой выбор называется последовательным выбором с возвращением, а его результат  - размещением с повторениями из n  элементов по k.

Общее число различных способов, которыми можно произвести выбор с возвращением k элементов из генеральной совокупности объема n, равно

   A_n^-k = n^k

 Пример 5

Лифт останавливается на 7 этажах. Сколькими способами могут выйти на этих этажах 6 пассажиров, находящихся в кабине лифта?

Решение

Каждый из способов распределения пассажиров по этажам представляет собой комбинацию 6 пассажиров по 7 этажам, отличающуюся от других комбинаций как составом, так и их порядком. Так как одном этаже может выйти как  один, так и несколько пассажиров, то одни и те же пассажиры могут повторяться. Поэтому число таких комбинаций равно числу размещений с повторениями из 7 элементов по 6: 

Сочетания

 Сочетаниями  из C_n элементов по k называются неупорядоченные совокупности, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом.

Пусть из генеральной совокупности берется сразу несколько элементов (либо элементы берут последовательно, но порядок их появления не учитывается). В результате такого одновременного неупорядоченного выбора  n элементов из генеральной совокупности объема k получаются комбинации, которые называются сочетаниями без повторений из n элементов по k .

Число сочетаний из n элементов по k равно:    C_n^k = 

 Пример 6

В ящике 9 яблок. Сколькими способами можно выбрать 3 яблока из ящика?

Решение

Каждый вариант выбора состоит из 3 яблок и отличается от других только составом, то есть представляет собой сочетания без повторений из 9 элементов:

Количество способов, которыми можно выбрать 3 яблока из 9:

                  

Пусть из генеральной совокупности объема  выбирается  элементов, один за другим, причем каждый отобранный элемент перед отбором следующего возвращается в генеральную совокупность. При этом ведется запись, какие элементы появились и сколько раз, однако порядок их появления не учитывается. Получившиеся совокупности называются сочетаниями с повторениями из n элементов по k.  Число сочетаний с повторениями из n  элементов по k:

C_n^-k = C^k _n+k-1

 Пример 7

На почте продают открытки 3 видов. Сколькими способами можно купить 6 открыток?

Решение

Это задача на отыскание числа сочетаний с повторениями из 3 по 6

               N = C₃^-6 = C ⁶_{3 +6 -1} =C₈⁶ = =  =28

Разбиение множества на групп

Пусть множество из  различных элементов разбивается на k групп так, то в первую группу попадают n₁ элементов, во вторую n₂-  элементов, в  k-ю группу – n_k  элементов, причем  n₁+n₂+…n_k =n

Такую ситуацию называют разбиением множества на k группы.

Число разбиений на  групп, когда в первую попадают  элементов, во вторую -  элементов, в k-ю группу -  элементов, равно:        N (n₁ n_{2  ...}  n_k) =

Пример 8

Группу из 16 человек требуется разбить на три подгруппы, в первой из которых должно быть 5 человек, во второй – 7 человек, в третьей – 4 человека. Сколькими способами это можно сделать?

Решение

Здесь  n =16  k =3   n_{1 =}5      n₂ = 7    n₃ =4

Число разбиений на 3 подгруппы:

ВЫВОД

Задание:

1. Сделайте конспект сообщения, выписав определения и формулы.

2.Решите задачу:     Какими способами можно рассадить 6 человек за одним столом?