15.03.2024 ГРУППА 608. МАТЕМАТИКА. ТЕМА «Цилиндр. Площадь поверхности »
Прямым круговым цилиндром называется тело, образованное вращением прямоугольника вокруг его стороны.
На рис. 263 изображен цилиндр, образованный вращением плоского прямоугольника ОАВО1 вокруг прямой ОО1 - оси цилиндра.
Стороны ОА и O1 B описывают равные круги, которые лежат в параллельных плоскостях, называются основаниями цилиндра. Радиусы кругов называются радиусами цилиндра.
Сторона АВ описывает поверхность, которая называется боковой поверхностью цилиндра. Отрезки боковой поверхности, которые параллельны и равны АВ, называются созидательными цилиндра.
Высотой цилиндра называется отрезок, перпендикулярный к основаниям цилиндра, концы которого принадлежат основаниям. Высота цилиндра равна его образующей.
Осевое сечение цилиндра - прямоугольник со сторонами, равными высоте цилиндра и диаметру его основания. На рис. 264 прямоугольник ABCD - осевое сечение цилиндра.
ЗАДАНИЯ
1. 1. Приведите примеры бытовых предметов, которые имеют форму цилиндра.
2. 2. Пользуясь рис. 264, назовите:
а) радиус цилиндра;
б) образующую цилиндра.
1. 3. Какие свойства имеют основания цилиндра?
2. 4. Какие свойства имеют образующие цилиндра?
3. 5. Из кучи картона взяли лист и вырезали круг. Достали цилиндр с очень малой высотой. Как практически определить его высоту?
4. 6. Кусок тонкой проволоки можно считать цилиндром, у которого радиус очень мал. Как практически определить этот радиус?
Площадь поверхности цилиндра
Поверхность цилиндра состоит из двух равных оснований и боковой поверхности.
Если поверхность цилиндра разрезать по окружностям оснований и одной из образующих, а затем развернуть на плоскости, то получим развертку цилиндра (рис. 265). Она состоит из прямоугольника, стороны которого равны длине окружности оснований и высоте цилиндра, и двух кругов, что является основаниями цилиндра.
Площадью боковой и полной поверхности цилиндра называют площадь развертки боковой и полной поверхностей.
Тогда площадь боковой поверхности Sб. и площадь полной поверхности Sп. цилиндра определяются формулами:
Sб. = 2
где R, H - радиус и высота цилиндра соответственно.
Решение задач
1. 1. Диаметр цилиндра равен 1 см, а высота равна длине окружности основания. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
2. 2. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 15π см2. Найдите площадь осевого сечения цилиндра.
3. 3. Осевым сечением цилиндра является квадрат со стороной 8 см. Найдите боковую и полную поверхности цилиндра.
4. 4. Найдите объем тела, образованного при вращении прямоугольника вокруг его стороны, которая равна 2 см.
5. 5. Осевое сечение цилиндра - квадрат со стороной 8 см. Найдите площадь цилиндра.
2.Составьте конспект (образец приведен в табл. 12).
Таблица 12
Цилиндр | |
 Прямым круговым цилиндром называется тело, образованное вращением прямоугольника вокруг его стороны. ОА, О1В - радиусы, АВ - образующая (высота), O1O - ось | |
 Площадь поверхности цилиндра Sцил = Sбоков + 2Sосн, где Sбоков = 2nRH, Sосн = nR2 | |
 Объем цилиндра V = Sосн ∙ H; | |
3. Изучите формулу площади поверхности цилиндра.
1. 1. Дайте определение цилиндра.
2. 2. Что такое высота цилиндра? осевое сечение цилиндра?
3. 3. Чему равна площадь боковой поверхности цилиндра?
4. 4. Чему равен объем цилиндра?
5. 5. На рис. 268 изображен цилиндр, радиус которого равен 3 см, а высота - 4 см. Определите, какие из приведенных утверждений являются правильными, а какие - неправильными.
а) Длина окружности основания цилиндра равна 6 см.
б) Площадь основания цилиндра равна 6 см2 .
в) Площадь боковой поверхности цилиндра равна 2 см2 .
г) Объем цилиндра равен 24 см3.
УРОК №;139 Контрольная работа № 1 по теме «Координаты и векторы в пространстве»
Вариант 1
1. Точка A — середина отрезка MK. Найдите координаты точки A и длину отрезка MK, если M (5; −2; 1), K (3; 4; −3).
2. Точки A и B симметричны относительно точки C. Найдите координаты точки B, если A (−3; 5; −7), C (6; 2; −1).
3. Даны векторы 
(3; −2; −1) и (1; 2; 4). Найдите:
1) координаты вектора ;
2) косинус угла между векторами и .
4. Даны векторы (2; −6; 8) и (−1; k; −4). При каком значении k векторы и :
1) коллинеарны;
2) перпендикулярны?
5. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку A и перпендикулярной прямой AB, если A (1; 2; −3), B (4; 8; −6).
6. Дан куб ABCDA1B1C1D1, ребро которого равно 1 см. На диагонали C1D его грани отметили точку M так, что DM : MC1 = 5 : 3.
1) Выразите вектор через векторы , и .
2) Найдите модуль вектора .
Вариант 2
1. Точка M — середина отрезка AB. Найдите координаты точки M и длину отрезка AB, если A (6; −5; 2), B (−4; 3; 10).
2. Точки M и K симметричны относительно точки D. Найдите координаты точки K, если M (4; −6; 3), D (−2; 1; 5).
3. Даны векторы (2; −1; 3) и (−1; 2; 5). Найдите:
1) координаты вектора ;
2) косинус угла между векторами и .
4. Даны векторы (5; −4; 6) и (15; −12; p). При каком значении p векторы и :
1) коллинеарны;
2) перпендикулярны?
5. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку B и перпендикулярной прямой BC, если B (3; −2; 4), C (−2; 8; 19).
6. Дан куб ABCDA1B1C1D1, ребро которого равно 1 см. На диагонали AD1 его грани отметили точку E так, что AE : ED1 = 2 : 7.
1) Выразите вектор через векторы , и .
2) Найдите модуль вектора .
УРОК № 137-138
15.03.2024. ГРУППА 608. МАТЕМАТИКА. ТЕМА «РЕШЕНИЕ УПРАЖНЕНИЙ»
Итак, мы пришли к концу изучения темы «Векторы и координаты в пространстве». На этих уроках мы закрепим полученные знания и умения решением упражнений.
Решение упражнений с объяснением:
№1.
Даны векторы а(6; -1), b(-5; -2) и с(-3; 5), определить длину вектора d =а – d+с.
Решение:
Нашли координаты
d=6 – (-5) +(-3) -1 –(-2) +5 = (8; 6)
а теперь по формуле │d│= (82 +62)1/2 = (100)1/2 = 10
№2. –
Даны векторы а(2; -5) и b(5; 7). Найдите скалярное произведение векторов 0,6а и 1,7b/
Скалярное произведение этих векторов равно:
0,6а ∙1,4b =0,84(2∙ 5 + (-5)∙7 =0,84∙(-25)=-41
№3
Даны точки А(3; -1,0); В(0;0;-7); С(2;0;0), Д(-4;0;3); Е(0; -1; 0). Какие из этих точек лежат на: а) оси абсцисс, б) оси ординат, с) оси аппликат.
Ось абсцисс - В, Е.
Ось ординат - В, С, Д
Ось аппликат – А, С, Е
№4
Точка М – середина отрезка АВ. Найдите координаты: а) точки М, если А (0;3; -4), В (-2; 2;0).
Координаты точки М определяем по формуле:
ХМ = (ХА +ХВ)/2 =(0+(-2))/2 =-1
УМ = (3+2)/2 = 2,5
ZМ = (-4 +0)/2 = -2;
М (-1; 2,5; -2)
РЕШИТЕ САМОСТОЯТЕЛЬНО:
1. Даны векторы а (2; -5), b (6; 3), с (4; 7).
Найти длину вектора а- b –с
2.Найдите координаты вектора АВ, если А(3; -1; 2), В (2; -1; 4)
4. Найдите длину вектора АВ, если: А (-1;0; 2), В (-34; -5; 8)
5. Даны точки М (-4; 7; 0) и N (0; -1; 2).
Найдите расстояние от начала координат до середины отрезка МN.
ЖЕЛАЮ УСПЕХА!
УРОК №135-136
14.03.2024 Группа 608.
Математика. Тема «Связь между координатами вектора и координатами его начала и
конца»
Ты уже знаком с
понятием координат вектора. Ими называют коэффициенты разложения данного
вектора по единичным координатным векторам .
Сегодня мы ответим
на вопрос «Как связаны координаты вектора с координатами его начала и конца?».
Но для начала
вернёмся к координатам точки в прямоугольной системе координат.
Напомним, что для
их определения нужно опустить перпендикуляры из данной точки к осям.
Точки пересечения
данных прямых с осями обозначим как M1 и M2.
Абсциссой точки М
является число x, которое является длиной отрезка OM1. А
ординатой — число y, которое является длиной отрезка OM2.
M(x; y) x = OM1,
y = OM2
Мы вспомнили, как
определять координаты точек, а теперь вернёмся к общему случаю и, уже
рассмотренной, точке M.
Проведём вектор из
точки O к точке M. Запомни, вектор OM⃗ называют радиус-вектором точки M.
Координаты
радиус-вектора OM равны (x; y), то есть
равны соответствующим координатам точки M.
Если вектор АВ расположить на оси координат так,
что его начало будет находиться в начале координат, то координаты этого вектора
равны координатам его начальной точки АВ (х; у)
ВЫВОД: Координатами вектора являются координаты конечной
точки этого вектора, если вектор расположен так, что его начало находится в
начале координат.
Если вектор
находится на координатной плоскости, то каждая координата вектора равна
разности соответствующих координат его конца и начала.
a +b
имеет координаты (х1 + х2;
у1+ у2);
а – b (х1 –
х2; у1 – у2);
ka (kх;
ух)
Каждая координата
вектора равна разности соответствующих
координат его конца и начала:
ХАВ
= Хв – ХА;
УАВ = Ув
- УА
ЗАДАНИЕ :
Начало вектора находится в т.М, а конец в т.К.
Определите координаты вектора МК, если:
А) М(2;7) и К(6;8); б) М(5;1) и К(2; 10); в) М(0; 8) и К(9;-5)
Я думаю,
вы справитесь
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА СЕРЕДИНЫ ОТРЕЗКА
Координаты середины
отрезка равны полусумме соответствующих координат концов отрезка:
ХС = ХА+ХВ
/2; УС= УА
+ УВ /2
Давайте решим пример:
Дан отрезок
НК, координаты его концов: Н(5; -2) и К(3;4).
Сначала найдём
полусумму координат Х и получим координату её середины :
ХС = (5
+3)/2 = 8/2 =4;
Сделаем то же с
координатой У:
УС = (-
2+4)/2 = 2/2 = 1
Итак ,
координаты середины отрезка = С (4; 1)
РЕШИТЕ САМОСТОЯТЕЛЬНО: КООРДИНАТЫ КОНЦОВ ОТРЕЗКА
МН равны: М(6; -3) и Н(4; -5). Найдите координаты середины отрезка т.К.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЛИНЫ ВЕКТОРА И ОТРЕЗКА
Длина вектора а с известными координатами (х; у)
определяется по формуле:
│ а│ = (Х2
+У2)1/2
Если мы имеем две
точки с координатами (х1; у1) и (х2; у2),
то соединив их получим отрезок, длину которого нужно найти, т.е. расстояние
между этими точками. Примем одну из точек за начало вектора, то вторая точка- конец
вектора. И тогда задание сведётся
вычислению длины этого вектора.
Его координаты:
Х = Х2 – Х1
У = У2 – У1
Тогда длина этого
вектора (отрезка) определяется по формуле:
d =( Х2 + У2)1/2
= ((Х2 –Х1)2 + (У2 –У1))1/2
ЗАДАНИЕ
Самостоятельная работа.
1. Найдите координаты середины отрезка АВ, если:
а) А (– 6; 2;0), В (-4; 4; -8);
б) А (– 5; – 4; 6), В (– 1; 2; 0).
2. Проверьте, является ли точка М (4; 2) серединой отрезка АВ,
если:
а) А (3; – 1, 4) В (5; 5; -6);
б) А (3; 6; 7) В (– 5; – 2; 1).
3. Найдите длину
вектора:
А) М(2;7) и К(6;8); б) М(5;1) и К(2; 10); в) М(0; 8) и К(9;-5)
Комментариев нет:
Отправить комментарий