ГРУППА 106. МАТМАТИКА.                                                                            Тема «Измерения в геометрии. Решение задач»

Объём и его измерения.

Объем — это одна из характеристик трехмерных геометрических фигур.  Объем – положительная величина обозначается большой латинской буквой V («вэ»). Величины объема взаимосвязаны (одну кубическую единицу объема можно заменить другой).  Часть пространства, занимаемого геометрическим телом, называется объёмом этого тела.

Любая фигура на плоскости имеет свою площадь

1.Равные фигуры имеют равные площади.

2.Если фигура, составленная из нескольких фигур, то её площадь равна сумме площадей этих фигур.

3.В качестве единицы измерения площади обычно берут квадрат со стороной равной единице измерения отрезков.

Любое тело в пространстве обладает объёмом

1. Равные тела имеют равные объёмы.

2.Если тело разбито на части, то объём равен сумме объёмов этих частей.

3.Объём куба, ребро которого равно единице длины, равен единице.

Объём параллелепипеда и куба

Теорема:

Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений (a, b,c – измерения прямоугольного параллелепипеда

V=abc

Следствие1: Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

   V = So h

рис.1

Следствие  2: Объём куба равен произведению трёх его измерений (a,a,a – измерения куба).        V = a³.

Объём призмы и цилиндра

Теорема: Объём призмы и цилиндра равен произведению площади основания на высоту (рис.3)

Рис.3                      V = So h

Рисунок 4

 

Следствие: Объём наклонной призмы равен произведению бокового ребра на площадь перпендикулярного сечения (рис.4)

Объём пирамиды и конуса

Теорема: Объём пирамиды и конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.

Рисунок 5

                       

                             V  = 1/3 So h

Следствие: Объём усечённой пирамиды, высота которой равна H, а площади оснований равны S и S₁, вычисляется по формуле: (рис.6.)

V = 1/3h (S+ S₁ + √S∙ S₁)

Следствие: Объём усечённого конуса, высота которого h, а радиусы оснований R и r вычисляется по формуле:

                          V =1 /3h (S + S₁ +√ S ∙S₁)

Объём шара и площадь сферы

Теорема: Объём шара радиуса R равен       V = 4/ 3 πR³.

Теорема: Площадь сферы равна 4 πR².

 

Рисунок 7

Решение задач на объёмы тел

1.Диаметр основания конуса равен 12, а длина образующей – 10. Найдите объем конуса. В ответе запишите

    Решение:

Ответ: 96.

2. Ребра прямоугольного параллелепипеда равны 4, 5 и 8. Найдите объем параллелепипеда.

         Ответ:160

3. Радиус основания цилиндра равен 4, высота . Найдите объем цилиндра.

 Ответ:160

Площади поверхности тел

1.Площадь полной поверхности призмы — сумма площадей всех её граней. Площадь полной поверхности (S_полн) выражается через площадь боковой поверхности (S_бок) и площадь основания призмы формулой: S_полн=S_бок+2S_осн .

Площадь боковой поверхности призмы (S_бок) — сумма площадей её боковых граней.

Теорема: Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы (доказать самостоятельно).

Теорема: Площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра сечения, перпендикулярного боковым рёбрам призмы, на длину бокового ребра (доказать самостоятельно).

Следствие: Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда равна произведению длины бокового ребра на периметр основания.

Следствие: Площадь полной поверхности куба: S_полн=6а²

2.Площадью боковой поверхности пирамиды (полной и усечённой) называется сумма площадей всех её боковых граней, площадью полной поверхности - сумма площадей её   граней.

развёртка пирамиды четырёхугольной; развёртка усеченной пирамиды

Теорема: Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему пирамиды (доказать самостоятельно).

Площадью полной поверхности усечённой пирамиды называется сумма площадей его боковой поверхности и площади двух его оснований.

Теорема: Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна произведению полу суммы периметров оснований на апофему пирамиды (доказать самостоятельно).

                Sб  = 1/ 2 (P₁  +  P₂) d

P₁-периметр верхнего основания, P₂-периметр нижнего основания, d- апофема

3.Теорема: Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую:

Доказательство:

                

                  Sб  = π r l

развёртка конуса

Развёрткой боковой поверхности конуса является круговой сектор. Длина дуги сектора — это длина окружности основания конуса длиной 2Rπ, угол развёртки боковой поверхности α. Радиус сектора — это образующая конуса.

Теорема: Площадь полной поверхности конуса равна боковой поверхности плюс площадь основания:         Sполн.   = π rl + πr² = πr (l + r)

Теорема: Площадь боковой поверхности усечённого конуса равна произведению полу суммы длин окружностей оснований на образующую.

                      Sб = 1/ 2 (2π r + 2 πr ₁) l = π (r + r₁ )                                           

 Боковая поверхность определяется как разность боковой поверхности данного конуса и отсечённого конуса.

 

развертка усечённого конуса

Площадью полной поверхности усечённого конуса называется сумма площадей его боковой поверхности и площади двух его оснований.

                   S полн.  =  Sб + 2 S_о

Теорема: Площадь полной поверхности усечённого конуса  равна площади боковой поверхности плюс площади верхнего и площади нижнего основания усечённого конуса:

                 S = S_б + S_о + S_о1

Теорема: Площадь боковой поверхности цилиндра равна     S = 2 rπH            Доказательство:

Сторона  равна высоте H, а другую сторону образует развёрнутая окружность основания длиной 2πR. Так как развертка-прямоугольник, то боковая поверхность определяется по формуле: S_бок.=2πRH.

Основания цилиндра — два круга с общей площадью 2πR².

Полная поверхность цилиндра определяется по формуле:

S_полн. = 2πRH+2πR ²= 2πR (H+R)

Развёртка  цилиндра

Решение задач по теме «Площади поверхности тел»

Задача №1.

Найти площадь поверхности правильной четырёхугольной пирамиды, у которой сторона основания равна 6, а боковое ребро равно 5.

Решение. ABCDV — пирамида.   Площадь основания пирамиды равна: Sосн = 6² = 36.   Остаётся найти площадь боковой поверхности.

Проведём высоту VM боковой грани пирамиды. Треугольник BVC — равнобедренный;

значит, VM является также его медианой, и потому MC = 3. Отсюда  ОМ = 3

. Следовательно, площадь S₁ боковой грани равна:

S₁ = BC · VM = · 6 · 4 = 12.

Площадь боковой поверхности: Sбок = 4S₁ = 4 · 12 = 48

Площадь поверхности пирамиды:

S = Sосн + Sбок = 36 + 48 = 84.

Ответ:48.

Задача №2

Сколько квадратных метров брезента потребуется для сооружения палатки конической формы высотой 4 метра и диаметром основания  6 метров?    

На подгиб и швы  необходимо добавить 5%. 

   Дано: конус, h=4 м,  d_осн = 6м

          Найти: S_бок=?  

Решение: Палатка имеет форму конуса, следовательно нам необходимо вычислить площадь поверхности конуса. Мы знаем, что S_пол =  S_осн  +  S_бок  , где S_бок = πRℓ и S_осн = πR²

 R=d:2 = 6:2 = 3(м) 

  Рассмотрим осевое сечение конуса – равнобедренный треугольник. Опустим высоту (медиану) ВН. Она разобьет АВС на два равных прямоугольных треугольника.  Из ВНС по теореме Пифагора найдем образующую,  ВС = =5м. 

S_бок = πRℓ= π· 3·5 = 15 π ≈ 47,1 (м²),                                         

 S_осн = πR² = 9π ≈ 28,26 (м²),  

  S_пол =  S_осн  +  S_бок  = 75,36 ≈ 75,4(м²)  брезента 

Найдем  5% от  S_пол , что составит 3,8 м².   Значит S = S_пол  + 3,8 =79,2 (м²)   

 Ответ: 79,2м²  брезента потребуется для палатки.

ЗАДАНИЕ:

Выполните практическую работу. Тема указана ниже.

Практическая работа на тему «Объёмы и площади многогранников и круглых тел».

1В. №1.Диагональ основания правильной четырехугольной пирамиды равна 10 см, а угол между плоскостью боковой грани и плоскостью основания равен 45º. Найдите площадь поверхности пирамиды.

1В. №2 Развёртка боковой поверхности цилиндра является квадратом, диагональ которого равна 10см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

 1В.№3. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 4. Ее объем равен 16. Найдите высоту этой пирамиды.

1В.№4. Высота бака цилиндрической формы равна 40 см, а площадь его основания 150 см². Чему равен объем этого бака (в литрах)? 1л = 1000 см³.

1В.№5. По одному рисунку из №5 2В.

2В.№1 Основание прямой призмы треугольник  со  сторонами  8см  и  3см  и  углом  между  ними  60⁰. Высота  призмы  15см. Найдите  площадь  боковой и площадь полной  поверхности  призмы. 

2В. №2 Найдите площадь боковой поверхности тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетами 4 см и 7 см, вокруг большего катета.

2В.№3 Площадь большого круга шара равна 1. Найдите площадь поверхности шара.

2В. №4. Образующая конуса 8 см, а угол при вершине осевого сечения 60. Найти объем конуса.

 

Практическая работа по теме «Поверхность правильных многогранников»

Площадь поверхности правильных многогранников  — сумма площадей всех её граней.

1.Дайте определение правильного многогранника.

2. Сколько вершин, граней, ребер имеют а) гексаэдр б)тетраэдр в) октаэдр г)додекаэдр г) икосаэдр?

3.Изготовьте модели правильных многогранников по их развёрткам.

4. Вычислите площадь поверхности данных фигур.