ГРУППА  208. МАТЕМАТИКА.  ТЕМА  «   Производная. Геометрический и физический смысл производной»

Геометрический смысл производной. Производная в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции  y=f(x) в этой точке

Уравнение касательной

уравнение касательной к графику функции y = f (x) в точке x₀ :

Физический смысл производной.

Если точка движется вдоль оси х и ее координата изменяется по закону  x(t), то мгновенная скорость точки:

Примеры

3. На параболе  у=х²-2х-8  найти точку М, в которой касательная к ней параллельна прямой 4х+у+4=0.

Решение.

Определим угловой коэффициент касательной к параболе у=х²-2х-8:

k = у'= (х²-2х-8)'=2х-2.

Найдем угловой коэффициент прямой 4х+у+4=0:

у=-4х-4, k =-4.

Касательная к параболе и данная прямая по условию  параллельны. Следовательно, их угловые коэффициенты равны, т.е.

2х-2=-4;

х=-1 – абсцисса точки касания.

Ординату точки касания М вычислим из уравнения данной параболы у=х²-2х-8, т.е.

у(-1)=(-1)²-2(-1)-8=-5, М(-1;-5).

Ответ: М(-1;-5).

 

1.  Найти угол между касательной к параболе   у = х² в точке (1; 1) и осью Ох, и написать уравнение этой касательной.

Решение:

Производная функция  f(х) = х² равна f^, (х) = 2х. Далее находим tgά =f^,(1) = 2 ∙1 = 2; откуда ά = arctg 2.

Найдём теперь уравнение касательной к параболе у = х² в точке А (1;1). Если

У = kx + b – уравнение прямой,  то  k = tgά = 2 т.е. уравнение касательной имеет вид у = 2х +b. Подставляем в это уравнение координаты точки (1;1), получаем 1 =2∙ 1 +b. Откуда b = -1.  Уравнение касательной: у =2х -1.

 

ЗАДАНИЕ:

1. Найти значения  k и   b, если прямая  у = kx + b проходит через точку (х₀; у₀) и образует с осью Ох угол ά:

А) ά = π/4,  х₀  = 2, у₀ = -3;                     б)  ά =- π/6,      х_{0 =} -1,       у₀ = -1.

 

2. Написать уравнение касательной к графику функции f (x) = x²  + x +1,  x₀ =1.

3. В чём геометрический смысл производной?

4. В чём физический смысл производной?