ГРУППА  208.  МАТЕМАТИКА. ТЕМА «Определение первообразной. Основное свойство первообразной»

Изучая математику, мы не раз сталкивались со взаимно-обратными операциями. Примерами взаимно-обратных операций являются:  Операция, обратная дифференцированию, называется интегрированием, а процессом, обратным нахождению производной, является процесс нахождения первообразной. Определение:  Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке I ,если для любого х из промежутка I выполняется равенство:  Или Первообразной для функции F(x) называется функция, производная которой равна данной. Задача интегрирования состоит в том, чтобы для заданной функции найти все ее первообразные. Важную роль в решении этой задачи играет признак постоянства функции: Если                      на некотором промежутке I, то функция F - постоянная на этом промежутке. Все первообразные функции а можно записать с помощью одной формулы, которую называют общим видом первообразных для функции f. Основное свойство первообразных: Любая первообразная для функции f на промежутке I может быть записана в виде F(x) + C, где F(x) – одна из первообразных для функции f(х) на промежутке I, а С – произвольная постоянная. В этом утверждении сформулированы два свойства первообразной 1) какое бы число ни подставить вместо С, получим первообразную для f на промежутке I; 2) какую бы первообразную Ф для f на промежутке I ни взять, можно подобрать такое число С, что для всех х из промежутка I будет выполнено равенство Ф(х) = F(x) + C. Основная задача интегрирования: записать все первообразные для данной функции. Решить её - значит представить первообразную в таком общем виде:  F(x)+C                               Таблица первообразных некоторых функций    Геометрический смысл первообразной   Графики первообразных -это кривые, получаемые из одной из них путём параллельного переноса вдоль оси ОУ   Примеры решения заданий Пример 1.   Выяснить, является ли функция F (x) = х 3 – 3х + 1 первообразной для функции f(x) = 3(х 2 – 1). Решение: F'(x) = (х 3 – 3х + 1)′ = 3х 2 – 3 = 3(х 2 – 1) = f(x), т.е. F'(x) = f(x), следовательно, F(x) является первообразной для функции f(x).   Пример 2.  Найти все первообразные функции f(x):   f(x) = х 4 + 3х 2 + 5 Решение: Используя таблицу и правила нахождения первообразных, получим: F(х) = х5/5 + х3 + С Ответ:   Задания по теме: "Определение первообразной. Основное свойство первообразной"       Задание № 1  Реши задания:   Задание № 2 Найдите первообразные для указанных функций: