ГРУППА  208.  МАТЕМАТИКА.   ТЕМА «Правила нахождения первообразных»

Давайте запишем несколько правил, которые нам помогут при нахождении первообразных. Все они похожи на правила дифференцирования.

Правило 1. Первообразная суммы равна сумме первообразных. F(x+y)=F(x)+F(y).

Пример.
Найти первообразную для функции y=4x³+cos(x).
Решение.
Первообразная суммы равна сумме первообразных, тогда надо найти первообразную для каждой из представленных функций.
f(x)=4x³ => F(x)=x⁴.
f(x)=cos(x) => F(x)=sin(x).
Тогда первообразной исходной функции будет: y=x⁴+sin(x) или любая функция вида y=x4+sin(x)+C.

Правило 2. Если F(x) – первообразная для f(x), то k∗F(x) – первообразная для функции k∗f(x). (Коэффициент можем спокойно выносить за функцию).

Пример.
Найти первообразные функций:
а) y=8sin(x).
б) y=−23cos(x).
в) y=3x²+4x+5.
Решение.
а) Первообразной  для sin (x) служит минус cos(x). Тогда первообразная исходной функции примет вид: y=−8cos(x).

б) Первообразной для cos(x) служит sin(x). Тогда  первообразная исходной функции примет вид: y=−23sin(x).

в) Первообразной для x² служит  х³/3.  Первообразной для x служит   х²/2. Первообразной для 1 служит x. Тогда первообразная исходной функции примет вид: y=3∗x ³ /3+4∗x² / 2+5∗x=x³+2x²+5x.

Правило 3. Если у=F(x) - первообразная для функции y=f(x), то первообразная для функции y=f(kx+m) служит функция y=1/k∗F(kx+m).

Пример.
Найти первообразные следующих функций:
а) y = cos(7x).
б) y=sin(x²)

Решение.
а) Первообразной для cos(x) служит sin(x). Тогда первообразная для функции y=cos(7x) будет функция y=1/7∗sin(7x)=sin(7x)/7.

Б) Первообразной функции у = sin(х²) служит – cos(х²)


Теорема. Если у=F(x) - первообразная для функции y=f(x) на промежутке Х, то у функции y=f(x)  бесконечно много первообразных, и все они имеют вид у=F(x)+С.

Если во всех примерах, которые были рассмотрены выше, требовалось бы найти множество всех первообразных, то везде следовало бы прибавить константу С.
Для функции y=cos(7x) все первообразные имеют вид: y=sin(7x)/7+C.
Пример.
По заданному закону изменения скорости тела от времени v=−3sin(4t) найти закон движения S=S(t), если в начальный момент времени тело имело координату равную 1,75.
Решение.
Так как v=S′(t), нам надо найти первообразную для заданной скорости.
S=−3∗1/4(−cos(4t))+C=3/4cos(4t)+C.
В этой задаче дано дополнительное условие - начальный момент времени. Это значит, что t=0.
S(0)=3/4cos(4∗0)+C=74.
3/4cos(0)+C=74.
3/4∗1+C=74.
C=1.
Тогда закон движения описывается формулой: S=3/4cos(4t)+1.

Пример

Для функции f(x} =x найти такую первообразную, график которой проходит через точку (2; 5)

Решение:

Все первообразные данной функции находятся по формуле F(x) = х²/2 + С, так как  F¹(x) =x.  Найдём число С, такое, чтобы график функции у = х²/2 +С проходил через точку (2; 5). Подставляя х = 2, у = 5, получаем  5 = 2^2//2 +С, откуда С =3. Следовательно, F(x) = х²/2 +3.

Задачи для самостоятельного решения

1. Найти первообразные функций:
а) y=−10sin(x).
б) y=56cos(x).
в) y=4x5+3x2+5x.
2. Найти первообразные следующих функций:
а) y=cos(34x).
б) y=sin(8x).
в) y=(7x+4)4.

3. По заданному закону изменения скорости тела от времени v=4cos(6t) найти закон движения S=S(t), если в начальный момент времени тело имело координату равную 2.