ГРУППА  208. МАТЕМАТИКА.  ТЕМА  « ПРИМЕНЕНИЕ ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ПЛОЩАДИ  КРИВОЛИНЕЙНОЙ ТРАПЕЦИИ»

         Пора познакомиться с мощнейшим средством исследования в математике, физике, механике и других точных дисциплинах. Это средство — определенный интеграл. В средней школе определенный интеграл применяют при вычислениях площадей криволинейных трапеций, объемов тел вращения, нахождении моментов инерции и т.д.

Что такое определенный интеграл? Чем он отличается от неопределенного, с которым мы уже достаточно знакомы.

Сравните:

 a и b — это границы, в которых изменяется переменная интегрирования х.

Сравниваем далее:

Неопределенный интеграл графически представляет собой семейство кривых, совмещаемых параллельным переносом .

Определенный интеграл (см. рисунок слева) представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком функции y=f (x), снизу — осью Ох, а слева и справа прямыми x=a и х=b.

Значение определенного интеграла есть площадь S этой криволинейной трапеции:

Рассмотрим примеры на вычисление определенного интеграла.

Пример 1.

 

Найдем первообразную F (x) для подынтегральной функции f (x)=3x²-2x+1, а затем применим формулу Ньютона-Лейбница (ф. Н-Л).

Пример 2.

Возникает вопрос: раз определенный интеграл выражает собой площадь криволинейной трапеции, то нельзя ли увидеть эту криволинейную трапецию? А можно! Проиллюстрируем пример 2.

Полученный результат

выражает площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=(x+1)⁴, осью Ох и прямыми: х=0 (осью Оy) и х=1.

График функции y=(x+1)⁴ - парабола, ветви которой направлены вверх,

а вершина находится в точке О′(-1; 0).

Площадь этой криволинейной трапеции:

ЗАДАНИЕ

 

1.  Запишите и ответьте на вопросы:

           - что такое определённый интеграл и чем он отличается от неопределённого?

           - что собой представляют графически эти интегралы?

           - чему равна площадь криволинейной трапеции?

 2. Выполните упражнение

Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми х = а, х =b осью Ох графиком функции  у =f(x) :

1.  а = 2,   b = 4       f(x)  = х³

2   a = 3    b = 4       f(x) =  х²

3   a = 0    b = 2       f(x) =  х³ + 1