ГРУППА 201, 206. МАТЕМАТИКА. Тема « Призма».

     Давайте повторим ранее изученную тему  «Многогранные углы. Многогранник»

1. Дайте определение многогранника.

     Ответ: Многогранник - геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками, называемыми гранями.

    Стороны граней называются ребрами многогранника, а концы ребер — вершинами многогранника.

2. Сформулируйте понятие правильного выпуклого многогранника.

  Ответ: Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани — правильные одинаковые многоугольники и все многогранные углы при вершинах равны.

3. Существует 5 видов правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.

4. Сформулируйте теорему Эйлера.

Теорема Эйлера о соотношении между числом вершин, ребер и граней выпуклого многогранника, доказательство которой Эйлер опубликовал в 1758 г.

Вершины + Грани - Рёбра = 2.

5. Изобразите выпуклый многогранник и укажите грани, ребра и вершины.

Ответ: Куб АВСДА1В1С1Д1, грани: АВСД, …., ребра: АВ, ВС,…, вершины: А, В, С, ….., Д1.

 

         Сегодня  мы будем знакомиться еще с одним видом многогранника – это «Призма».

Призма — это многогранник, две грани которого являются равными многоугольниками, находящимися в параллельных плоскостях, а остальные грани — параллелограммами.

Грани, которые находятся в параллельных плоскостях, называются основаниями призмы, а остальные грани — боковыми гранями призмы.

Рассматривая элементы призмы нельзя не обратить на свойства этой фигуры.

 Даем определение каждому виду призмы. В зависимости от основания призмы бывают: 

Треугольная

 

Четырёхугольная

Шестиугольные и др.

  Призма с боковыми рёбрами, перпендикулярными её основаниям, называется прямой призмой, как в предыдущих рисунках.

  Прямая призма называется правильной, если её основания — правильные многоугольники.

 Призма, боковые рёбра которой не перпендикулярны основаниям, называется наклонной призмой.

  Расстояние между основаниями призмы называется высотой призмы.

 Высота прямой призмы совпадает с боковым ребром.

Высота наклонной призмы — это перпендикуляр, проведенный между основаниями призмы. Часто перпендикуляр проводят с одной из вершин верхнего основания.

Без дополнительных условий невозможно определить, в какую точку проектируется высота наклонной призмы.

Ответьте, пожалуйста  на вопрос: «Что собой представляет развёртка призмы?»

.А теперь ознакомимся с формулами   площади боковой поверхности и полной поверхности призмы, так же и для разных видов призм. 

 Площадь поверхности геометрической фигуры измеряется в квадратных единицах.  Очень часто используется в повседневной жизни, в строительстве, на производствах.  Например, нужно вам покрасить комнату, зная сколько краски  используется на кв. метр,  и площади стен комнаты легко можно вычислить, сколько всего вам нужно купить краски.

Различают два вида площадей поверхности тел: S_бок - площадь боковой поверхности тела, и Р - площадь полной поверхности тела, которая равна сумме площадей боковой поверхности и основания тела.

 Формула площади боковой поверхности призмы

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания  на высоту призмы (высота = боковому ребру).

S_бок = ph=pl

р - периметр основания;

h - высота;

l - боковое ребро.

IV. Решение задач

Задача 1

По стороне основания (a) и боковому ребру (b) найдите полную поверхность правильной призмы.

Дано:

ABCA₁ B₁ C₁— правильная треугольная призма.     AB = BC = AC            AA₁ =h                                                                         

Найти:    S_полн.

Решение:

 S _п =  S _б +2S_осн.

 S_осн  = a² √3 / 4                  S _б =p l = 3ab, тогда

S_п =3ab + 2a²√3/4

Боковая поверхность призмы равна: S_п =3ab + 2a²√3/4.

Задача 2

Боковая поверхность правильной четырехугольной призмы 32 м², а полная поверхность — 40 м². Найдите высоту.

Дано:

АБСДА₁ Б₁С₁ Д₁— правильная четырёхугольная призма.

S _б  = 32м² ;    S_п  =40м²

Найти: H -?

 Решение:

S_п  = S_б  + 2S_осн.       отсюда имеем: S_осн  = S_п  -S_б /2 = 40 -32 /2 = 4 м²

 Так как в основании находится квадрат, то сторона квадрата равна:

S_б = ph=4ah, то  h = S_б  /4a = 32 /8 =4м

Ответ: 4 м.

V. Самостоятельная работа

Задача1.

Найдите боковое ребро правильной четырёхугольной призмы, если сторона её основания равна 30, а площадь  поверхности равна 2760

 Задача2

Основание прямой треугольной призмы  служит прямоугольный треугольник с катетами 7 и 21. Высота призмы равна 15. Найти площадь её поверхности.

 Задание 1.

Найдите для каждой картинки пару 1, 2, 3, 4, 5

       

                                            

                   Задание 2

Какие из перечисленных объектов могут быть элементами призмы?

1) параллельные плоскости

2) отрезок

3) точка

4) четырехугольник