15.11.2021. ГРУППА 201. МАТЕМАТИКА. ТЕМА «МНОГОГРАННИКИ. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ.»

Определение. Многогранник- это тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников.

Определение. Многогранник называется правильным, если все его грани - равные правильные многоугольники, а все многогранные углы имеют одинаковое число граней. Все ребра правильного многогранника - равные отрезки, все плоские углы правильного многогранника также равны.

Определение. Многогранник называется выпуклым, если он весь лежит по одну сторону от плоскости любой его грани.

Определение. Отрезок, соединяющий две вершины многогранника, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника.

Определение. Выпуклый многогранник называется правильным, если:

1) все его грани – равные правильные многоугольники;

2) в каждой вершине сходится одинаковое количество граней;

3) все его двугранные углы равны.

Следствия. В правильном многограннике равны:

а) все ребра;

б) все плоские и многогранные углы и в каждой вершине сходится одинаковое количество ребер.

Существует всего пять правильных многогранников:

Правильный тетраэдр – составлен из 4 равносторонних треугольников.

Правильный октаэдр – составлен  из 8 равносторонних треугольников

Правильный икосаэдр – составлен из 20 равносторонних треугольников

Куб (гексаэдр)  - составлен из 6 квадратов

Правильный додекаэдр – составлен из 12 правильных пятиугольников.

Следствие. Выпуклых многогранников, у которых в каждой грани больше пяти ребер или в каждой вершине сходится более пяти ребер не существует.

Теорема Эйлера: Сумма числа граней и вершин любого многогранника равна числу рёбер, увеличенному на 2. Г + В = Р + 2

Число граней плюс число вершин минус число рёбер в любом многограннике равно 2. Г + В - Р = 2

Правильный многогранник	Число
	граней	вершин	рёбер
Тетраэдр	4	4	6
Куб	6	8	12
Октаэдр	8	6	12
Додекаэдр	12	20	30
Икосаэдр	20	12	30

ПРИЗМА

Определение. Призмой называется многогранник, который состоит из двух плоских многоугольников, лежащих в разных плоскостях и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки многоугольников.

Основания ABCDE, KLMNP

Боковые грани Все грани, кроме оснований. ABLK, BCML, CDNM, DEPN, EAKP

Боковые ребра AK, BL, CM, DN, EP

Высота KR

Диагональ BP

Диагональное сечение EBLP

основания призмы равны.

у призмы основания лежат в параллельных плоскостях.

у призмы боковые ребра параллельны и равны.

Определение. Призма называется прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны основаниям. В противном случае призма называется наклонной.

О

пределение. Прямая призма называется правильной, если ее основания являются правильными многоугольниками.

Основания правильной призмы являются правильными многоугольниками.

• Боковые грани правильной призмы являются равными прямоугольниками.
• Боковые ребра правильной призмы равны.
• Правильная призма является прямой.

Параллелепипед

                                                  Наклонный

Определение. Если основание призмы есть параллелограмм, то она называется параллелепипедом. У параллелепипеда все грани - параллелограммы.

Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противоположными.

Теорема 1. У параллелепипеда противолежащие грани параллельны и равны.

AA`BB`=DD`CC`, AA`BB`|| DD`CC`

                Теорема 2. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке       и точкой пересечения делятся пополам

A`O = OC, B`O = OD

Определение. Прямой параллелепипед, у которого основанием является прямоугольник, называется прямоугольным параллелепипедом. У прямоугольного параллелепипеда все грани- прямоугольники.

Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом.

Длина непараллельных ребер прямоугольного параллелепипеда называются его линейными размерами или измерениями. У прямоугольного параллелепипеда их три: длина, ширина, высота.

                           Центр симметрии прямоугольного параллелепипеда - точка пересечения его диагоналей.

Теорема 3. В прямоугольном параллелепипеде квадрат диагонали равен сумме квадратов трех его измерений.А`С<sup>2</sup>= А`А² + АД² +ДС².

.Решение задач на тему «Призма. Параллелепипед.»

Задача № 1. Основанием прямой четырехугольной призмы является ромб с диагоналями 1,6 дм и 3 дм, боковое ребро призмы равно 10 дм. Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы.

Решени е

Используя это  свойство – диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, найдем сторону .

OD=0,8 дм, OC=1,5 дм

Рассмотрим ∆СОD- прямоугольный.  

CD=

  =  1.7 дм

CD = 1.7 дм

AB=BC=CD=AD=1,7 дм

S=4∙ (1,7∙10)=68 дм².

Ответ: 68 дм²

Задача № 2. Ребро куба равно а. заполните таблицу, используя формулы:

Диагональ грани:d= a√2

Диагональ куба: D= a√3

Периметр основания: P= 4a

Площадь грани: S=a²

П лощадь диагонального сечения: Q= a²√2

Площадь поверхности куба: S= 6a²     Периметр и площадь сечения, проходящегочерез концы трех ребер, выходящих из одной вершины: P= 3a√2 ,

 

Задача № 3. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 8 см, боковое ребро - 6 см. Найдите Sсеч, проходящего через сторону верхнего основания и противолежащую вершину нижнего основания.

Решение:

Треугольник A₁B ₁C₁ - равнобедренный(A₁ B=C₁B как диагональ равных граней)

1)Рассмотрим треугольник BCC₁– прямоугольный

BC₁ ² =BС² +CC₁ ²

BC₁=  =10 см

2) Рассмотрим треугольник BMC₁– прямоугольный

BC₁ ² = BM^{2 +} M C₁ ²

BM² = BC₁ ² -M C₁ ²

BM² =100-16=84

BM=

3) Sсеч =  A₁C₁ *BM= ∙8∙2 =8 см²

Ответ: 8 см²

ПИРАМИДА

Определение. Пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника- основания пирамиды, точки, не лежащей в плоскости основания,- вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания.

А- вершина пирамиды;

AB, AC, AD, AE- ребра пирамиды;

ADE, AEB, ABC, ACD- боковые грани пирамиды;

BCDE- основание пирамиды;

AО- высота;

AF- апофема;

AEC-диагональное сечение.

Определение. Пирамида называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с центром этого многоугольника. Осью правильной пирамиды называется прямая, содержащая ее высоту.

У правильной пирамиды боковые ребра равны, а боковые грани – равные равнобедренные треугольники.

Определение. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой.

Если сечение пирамиды параллельно основанию, то мы получим усеченную пирамиду.

Определение. Усеченной пирамидой называется часть пирамиды, заключенная между ее основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию.

А₁А₂ А₃А₄А₅ и В₁В₂В₃В₄В₅ - нижнее и верхнее основания усечённой пирамиды

А₁В₁, А₂В₂, А₃В₃… - боковые ребра усечённой пирамиды

А₁В₁ В₂А₂, В₂А₂В₃А₃… - боковые грани усечённой пирамиды.

СН – перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки верхнего основания к нижнему основанию – называется высотой усечённой пирамиды

Свойства усеченной пирамиды:

• Основания усеченной пирамиды — подобные многоугольники.
• Боковые грани усеченной пирамиды — трапеции.
• Боковые ребра правильной усеченной пирамиды равны и одинаково наклонены к основанию пирамиды.
• Боковые грани правильной усеченной пирамиды — равные между собой равнобедренные трапеции и одинаково наклонены к основанию пирамиды.
• Двугранные углы при боковых ребрах правильной усеченной пирамиды равны.

Усеченную пирамиду полученную из правильно пирамиды называют правильной.

Высоту боковой грани правильной усеченной пирамиды называют ее апофемой.

У правильной усеченной пирамиды:

• Боковые грани равны;
• Боковые ребра равны;
• Апофемы равны;
• Двугранные углы при каждом основании равны;
• Боковые углы при боковых ребрах равны.

Решение задач на тему «Пирамида. Усеченная пирамида».

Задача № 1. Основание пирамиды- параллелограмм со сторонами 6 см и 8 см, высота пирамиды- 12 см, а все боковые ребра равны между собой. Найдите длину бокового ребра.

Решение:

1. АО- высота. АС=АВ=АЕ=AD, то DO=OВ=ОС=ОЕ, поэтому точка О- центр окружности описанной около параллелограмма BCDE. Но тогда параллелограмм является параллелограммом, диагонали которого пересекаются в точке О и равны друг другу. BCDE- прямоугольник.
2. Из ∆BDC по теореме Пифагора ,                  DB= 10 см., следовательно АО= 5 см

АО DBC. ∆АОD- прямоугольный, по теореме Пифагора ,  АД² = ОД² +АО² ;                   АД =   = 13 см                       АD==13 см.

Ответ: 13 см

Задача №2. Сторона основания правильной треугольной пирамиды 6 см, а боковое ребро 4 см. Найдите высоту пирамиды и апофему.

Решение:

1. Апофема- высота боковой грани правильной пирамиды. Все боковые ребра правильной пирамиды равны друг другу , поэтому высота ED ∆АDВ является ее медианой, т.е. АЕ=ВЕ.

В прямоугольном треугольнике АDЕ  DЕ =  

   .

1. Проведем высоту пирамиды ОD.

Рассмотрим ∆DОЕ- прямоугольный, т.к. DО АB

По теореме Пифагора найдем DО,    ДО² =ДЕ² – ОЕ²  

ДО    =2 см        , т.к ∆АBC- правильный, ОЕ- радиус вписанной окружности, ОЕ=

= =   см,      следовательно DО = =2 см.

Ответ: 2 см

Задача № 3. Стороны оснований правильной усеченной четырехугольной пирамиды равны 2 м и 8 м. Боковое ребро равно 5 м. Найдите высоту пирамиды.

Решение:

АА₁С₁ С- равнобокая трапеция. А₁С₁ и АС- диагонали соответственно верхнего и нижнего основания пирамиды. А₁С₁=2  см, АС= 8  см (как диагонали квадрата).

Проведем высоты А₁Е и С₁К. АЕ=КС=(АС- А₁С₁)/2=(8  -2 )2=3  см.

∆А А₁Е- прямоугольный, по теореме Пифагора найдем А₁Е.

 

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА на тему «Многогранники».

№ 1. Основанием прямой треугольной призмы является прямоугольный треугольник с катетами 0,7 см и 2,4 см, боковое ребро призмы равно 10 см. Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы.

№ 2. Стороны оснований правильной усеченной треугольной пирамиды 1 дм и 4 дм. Боковое ребро равно 2 дм. Найдите высоту пирамиды.

№ 3. Основание пирамиды - прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см. каждое боковое ребро пирамиды равно 13 см. Вычислите высоту.

ЗАДАНИЕ:

Выполните практическую работу.