16.11.2021г. ГРУППА 206. ТЕМА «МНОГОГРАННИКИ. ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ»

. Повторение теоретического материала.

Аксиомы стереометрии.

А 1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит одна и только одна плоскость.

А 2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости.

А  3. Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей

через эту точку.

В любой плоскости выполняются аксиомы планиметрии.

Определения

1. Две прямые, имеющие только одну общую точку, называются пересекающимися.

2. Две прямые, лежащие в одной плоскости и не имеющие общих точек, называются параллельными.

3. Две прямые, не лежащие в одной плоскости, называются скрещивающимися.

4. Прямая, все точки которой принадлежат плоскости, называется прямой, лежащей в этой плоскости.

5. Прямая пересекает плоскость, если у них есть только одна общая точка.

6. Прямая называется параллельной плоскости, а плоскость- параллельной прямой, если они не имеют общих точек.

7. Прямая называется перпендикулярной плоскости (а плоскость прямой), если прямая перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Теоремы

1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит одна и только одна плоскость.

2. Через две пересекающиеся прямые проходит одна и только одна плоскость.

3. Через две параллельные прямые проходит одна и только одна плоскость.

4. Если одна из параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

 Что значит построить сечение многогранника плоскостью?

- Как задается плоскость?

- Когда задача на построение сечения многогранника плоскостью считается решенной?

- Сформулируйте и запишите в рабочих тетрадях алгоритм построения сечений многогранников.

Алгоритм построения сечений многогранников:

1) проводим прямые через точки, лежащие в одной плоскости;

2) ищем прямые пересечения плоскости сечения с гранями многогранника, для этого

а) ищем точки пересечения прямой принадлежащей плоскости сечения с прямой, принадлежащей одной из граней (лежащие в одной плоскости);

б) параллельные грани плоскость сечения пересекает по параллельным прямым.

Важно помнить:

1) Для построения сечений ищем отрезки, по которым секущая плоскость пересекает каждую грань.

2) Можно соединять только точки, которые лежат в одной плоскости.

3) Если секущая плоскость пересекает противоположные грани, то она пересекает их по параллельным отрезкам.

Метод следов заключается в построении следов секущей плоскости на плоскость каждой грани многогранника. Построение сечения многогранника методом следов обычно начинают с построения, так называемого, основного следа секущей плоскости, т.е. следа секущей плоскости на плоскости основания многогранника.

 Построение сечений многогранников методом «следа».

         Суть метода заключается в построении вспомогательной прямой, являющейся изображением линии пересечения секущей плоскости с плоскостью какой-либо грани фигуры. Удобнее всего строить изображение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Эту линию называют следом секущей плоскости. Используя след, легко построить изображения точек секущей плоскости, находящихся на боковых ребрах или гранях фигуры.

 Метод внутреннего проектирования

        Этот метод построения сечений многогранников является в достаточной мере универсальным. В тех случаях, когда нужный след (или следы секущей плоскости) оказывается за пределами чертежа, этот метод имеет даже определенные преимущества. Вместе с тем следует иметь в виду, что построения, выполняемые при использовании этого метода, зачастую получаются «искусственные». Тем не менее в некоторых случаях метод вспомогательных сечений оказывается наиболее рациональным.

 Комбинированный метод

         Суть комбинированного метода построения сечений многогранников состоит в применении теорем о параллельности прямых и плоскостей в пространстве в сочетании с аксиоматическим методом.

Секущей плоскостью многогранника называется такая плоскость, по обе стороны от которой есть точки данного многогранника.

Сечением многогранника называется фигура, состоящая из всех точек, которые являются общими для многогранника и секущей плоскости.

Секущая плоскость пересекает грани многогранника по отрезкам, поэтому сечение многогранника есть многоугольник, лежащий в секущей плоскости. Очевидно, что количество сторон этого многоугольника не может превышать количества граней данного многогранника. Например, в пятиугольной призме (всего 7 граней) в сечении могут получиться: треугольник, 4-угольник, 5-угольник или 7-угольник

Две плоскости пересекаются по прямой (эта аксиома и дала названию метода – под «следом» понимается прямая пересечения какой-либо грани многогранника и секущей плоскости).

Получение «следа» сводится к получению двух точек, принадлежащих одновременно какой-нибудь грани многогранника и секущей плоскости (подумайте, почему именно двух!?).

Точки получаются как пересечение двух прямых, принадлежащих одной и той же плоскости.

ПРИМЕЧАНИЕ. Прямая и плоскость являются бесконечными в пространстве фигурами!

Решение задач

Задача

Построить сечение куба плоскостью, заданной тремя данными точками M, N и K.

Построение

1. Выбираем точки М и N, принадлежащие одной грани и строим прямую MN – «след» пересечения правой грани и секущей плоскости.

2. Теперь обращаем внимание, что ребро куба В₁ С₁ лежит в одной грани с третьей точкой сечения К (верхней) и в одной грани с появившейся прямой MN (правой). Находим точку пересечения этих прямых – точку Е.

 3. Точки Е и К принадлежат верхней грани и секущей плоскости. Значит, прямая ЕК – «след» их пересечения и F € D ₁C₁, EK.

 4. Далее видим, что ребро куба А ₁В₂ лежит в одной грани с появившимся следом ЕК (верхней). Находим точку пересечения этих прямых – точку G.

5. Полученная точка G лежит в одной грани с точкой М (в передней) и обе точки принадлежат секущей плоскости – значит, прямая GM – очередной «след»!  Причем, GM∩АА₁=Н.

 Остается соединить отрезками все пары точек, лежащие в секущей плоскости и в одной грани куба.

Полученный пятиугольник MNFKH – искомое сечение куба.

 Пример 2. Построить сечение четырехугольной пирамиды, заданное точками M,N и K.

Ответ:

Пример 3. Построить сечение пятиугольной призмы, заданное точками M,N и K. Проследите за ходом построения сечения и запишите его.

Ответ:

Плоскость сечения может задаваться:

- Тремя точками, не лежащими на одной прямой;

- Прямой и точкой, не лежащей на ней;

- Двумя пересекающимися прямыми;

- Двумя параллельными прямыми.

Все эти случаи можно свести к первому, выбирая на прямых удобные для нас точки.

Данный метод построения сечений многогранников можно применять, если найдется хотя бы одна пара точек, лежащих в секущей плоскости и одной грани многогранника. После чего задача циклично алгоритмизируется в получение очередной точки и очередного «следа».

ПРИМЕЧАНИЕ. Если такой пары точек не найдется, то сечение строится методом параллельных проекций. Но это уже тема нового урока!

 Задача. На гранях куба заданы точки R, P, Q. Требуется построить сечение куба плоскостью, проходящей через заданные точки.

Ответ: 1. Точки Р и Q заданы, как принадлежащие плоскости сечения. В то же время эти точки принадлежат плоскости грани CDD₁C₁, следовательно линия PQ является линий пересечения этих плоскостей

2. Линии PQ и C₁D₁ лежат в плоскости грани CC₁D₁D. Найдем точку Е пересечения линий PQ и C₁D₁

3. Точки R и E принадлежат плоскости сечения и плоскости основания куба, следовательно линия RE, соединяющая эти точки будет линией пересечения плоскости сечения и плоскости основания куба.

4. RE пересекает A₁D₁ в точке F и линия RF будет линией пересечения плоскости

сечения и плоскости грани A₁B₁C₁D₁.

5. Линии RE и B₁C₁, лежащие в плоскости основания куба пересекаются в точке G.

6. Точки P и G принадлежат плоскости сечения и плоскости грани BB₁C₁C,следовательно линия PG является линией пересечения этих плоскостей.

7. PG пересекает BB₁ в точке H и линия PH будет линией пересечения плоскости

сечения и плоскости грани BB₁C₁C.

8. Точки R и H принадлежат плоскости сечения и плоскости грани A A₁B₁B

и следовательно линия RH будет линией пересечения этих плоскостей.

9. А пятиугольник RHPQF будет искомым сечением куба плоскостью, проходящей

через точки R, P, Q.

Задача: Требуется построить сечение заданной пирамиды плоскостью, проходящей через точки: М на ребре AS, P на ребре CS и Q на ребре DS.

Построение. 1. Точки M и Q лежат в плоскости грани АSD. Линия МQ, соединяющая эти точки является линией пересечения плоскости сечения и плоскости грани ASD.

2. Линия QP, соединяющая заданные точки Q и P, является линией пересечения плоскости сечения и плоскости грани DSC.

3. Линии MQ и AD лежат в одной плоскости грани ASD. Найдём точку Е, как точку пересечения линий MQ и AD. Точка Е будет принадлежать искомой плоскости сечения, так как она принадлежит линии MQ, лежащей в этой плоскости.

4. Линии PQ и CD лежат в одной плоскости грани CSD. Найдём точку F, как точку пересечения линий PQ и CD. Точка F, как и точка Е, будет принадлежать искомой плоскости сечения, так как она принадлежит линии PQ, лежащей в этой плоскости.

5. Точки Е и F принадлежат плоскости сечения и плоскости основания пирамиды, поэтому линия EF будет линией пересечения плоскости сечения и плоскости основания пирамиды.

6. Линии EF и BC лежат в одной плоскости основания пирамиды ABCD. Найдём точку G, как точку пересечения линий EF и BC. Точка G будет принадлежать искомой плоскости сечения, так как она принадлежит линии EF, лежащей в этой плоскости.

7. Точки P и G принадлежат плоскости сечения и плоскости грани BSC, поэтому линия PG

будет линией пересечения плоскости сечения и плоскости грани BSC.

8. Линией пересечения плоскости сечения и плоскости грани BSC будет линия , являющаяся продолжением PG, которая пересечёт ребро BS пирамиды в точке H.

9. PH будет линией пересечения плоскости сечения и плоскости грани BSC.

10. Ну и наконец, так как точки M и H одновременно принадлежат и плоскости сечения и плоскости грани ASB, то линия MH будет линией пересечения этих плоскостей.

11. И четырёхугольник MHPQ будет искомым сечением пирамиды SABCD плоскостью, проходящей через заданные точки M, P, Q.

 Задача. Дана трёхгранная призма

A B C A1 B1 C1. Требуется построить сечение призмы плоскостью, проходящей через три заданные точки D, E, и F.

Построение. 1. Точки D и E принадлежат плоскости грани АА₁С₁С и плоскости сечения, следовательно линия DE будет линией пересечения этих плоскостей.

2. Точки E и F принадлежат плоскости грани BCC₁B₁ и плоскости сечения, следовательно линия EF будет линией пересечения этих плоскостей.

3. Линии DE и AA₁ лежат в плоскости грани AA₁C₁C.Найдём точку G, пересечения этих линий.

4. Точка G принадлежит плоскости сечения, так как она принадлежит линии DE. Точки G и F принадлежат плоскости грани AA₁B₁B и плоскости сечения, следовательно линия GF будет линией пересечения этих плоскостей.

5. В плоскости грани AA₁B₁B линии GF и A₁B₁ пересекаются точке L. Точки F и L принадлежат плоскости грани AA₁B₁B и плоскости сечения, следовательно линия FL будет линией пересечения этих плоскостей.

6. Точки D и L принадлежат плоскости основания призмы A₁B₁C₁ и плоскости сечения,

следовательно линия DL будет линией пересечения этих плоскостей.

7. А четырёхугольник DEFL будет искомым сечением трёхгранной призмы плоскостью, проходящеё через три заданные точки D,E,F.

 Самостоятельное решение задач. Применение знаний в стандартной ситуации.

Построить сечение тетраэдра, проходящее через точки:

Q – принадлежит грани ABC;

R – принадлежит ребру AB;

S – принадлежит ребру DB.

ЖЕЛАЮ УСПЕХА!