08.12.2021г. ГРУППА 201.Тема: «Задачи на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний».

Решение задач:

№1. Экзамен состоит из 5 задач, которые можно решать в любом порядке. Сколькими способами можно расставить задачи. (

способов)

№2. В магазине продается 8 различных наборов марок, посвященных спортивной тематике. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора. (

способа)

1. Перестановка

Рассмотрим слово «КВАНТ», состоящее из 5 различных букв. Если менять порядок букв, получим 5!=120 перестановок

Если проделать то же самое со словом «АТАКА», то перестановок будет меньше, потому что, меняя местами 1,3 и 5-ю буквы, будем получать то же самое слово. Т.к. три буквы А можно менять местами 3!=6 способами, то перестановок будет в слове «АТАКА» в 6 раз меньше, т.е. 20

Вывод: Перестановками в такой выборке, где есть один элемент, называются перестановками с повторениями. Обозначается : Р_{(n1, n2,….., nk)}

Р(n₁, n₂,….., n_{k   )  =}    

                            , где n- количество повторений элементов                                

Задача: Сколько различных перестановок можно сделать из букв слова «МАТЕМАТИКА»

Решение:

Всего – 10 букв

«М» - 2 повтора

«А» - 3 повтора

«Т» - 2 повтора

«Е» - 1 повтор

«И» - 1 повтор

«К»- 1 повтор

перестановки

Ответ: 151200 перестановки

2. Сочетания.

Рассмотрим следующую задачу.

В почтовом отделении продаются открытки 10 сортов. Сколькими способами можно купить 8 различных открыток?

Решение. Данная задача на отыскание числа сочетаний без повторений, т.к. требуется купить 8 различных открыток

Ответ: 45 способов

Проделаем то же самое, но только определим «Сколькими способами можно купить в нем 8 открыток?

Решение.

Данная задача на отыскание числа сочетаний с повторениями из n = 10 элементов по k =8. Следовательно, она решается по формуле

Ответ : 24310 способов

Вывод: Иными словами, выборки которые отличаются количеством элементов хотя бы одного типа, называются сочетаниями с повторениями, а их общее число будем обозначать 

Задача: В кондитерской имеется 3 вида пирожных. Сколькими способами можно купить 9 пирожных?

Решение. В задаче требуется найти число всевозможных групп по 9 элементов, которые можно составить из данных трех различных элементов, причем указанные элементы в каждой группе могут повторяться, а сами группы отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. Это задача на отыскание числа сочетаний с повторениями из трех элементов по девять. Следовательно,

3.     Размещения.

Рассмотрим задачу:

В лифт восьмиэтажного дома вошли 5 пассажиров. Сколькими различными способами могут выйти пассажиры на каждом этаже, начиная со второго?

способов

А теперь ту же задачу, но вопрос сформулируем иначе.

В лифт восьмиэтажного дома вошли 5 пассажиров. Сколькими способами могут выйти пассажиры на каждом этаже, начиная со второго?

Задача такого вида называется «размещения с повторением», обозначается  

и вычисляется по принципу умножения.  Вычисляется по следующей формуле:

Решение. Задача сводится к распределению 5 пассажиров по 7 этажам (т. е. набор упорядоченный), причем возможны повторения (т. е. несколько пассажиров могут выйти на одном этаже). Таким образом, задача сводится к нахождению числа размещений с повторениями:

Задача: Сколькими способами девочка Яна может разложить 12 кукол по трём ящикам, ЕСли каждый ящик может вместить все куклы?

Ответ: 3¹²

.Задача №1. Буквы азбуки Морзе состоят из символов – точка и тире. Сколько букв получим, если потребуем, чтобы каждая буква состояла не более чем из пяти указанных символов?

Решение. Число всех букв, каждая из которых записывается одним символом, равно 

Число всех букв, каждая из которых записывается двумя символами, равно 

Число всех букв, каждая из которых записывается тремя символами, равно 

Число всех букв, каждая из которых записывается четырьмя символами, равно 

Число всех букв, каждая из которых записывается пятью символами, равно 

Число всех указанных букв будет равно 62.

Задача №2. Сколько всего чисел (не больше 100000) можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 и 5 в каждом из которых цифры расположены в неубывающем порядке?

Решение. Это задача о числе сочетаний из пяти цифр по одному, по два, по три, по четыре и по пяти с повторениями в каждом случае. Поскольку  ,  ,

, то существует

 чисел, удовлетворяющих условию задачи.

ЗАДАНИЕ:

1. Выпишите  формулы нахождения: перестановок, размещения, соединения с повторениями и без.

2 Решите задачи:

1. Сколькими способами можно разместить 8 пассажиров по трем вагонам?

Ответ: .

2. Сколькими способами Буратино, кот Базилио и лиса Алиса могут поделить между собой 5 одинаковых золотых монет?

Ответ: .

3. Сколько различных браслетов можно сделать из 5 одинаковых изумрудов, 6 одинаковых рубинов и 7 одинаковых сапфиров ( всего в браслет входит 18 камней)?

  =