15.12.2021г. ГРУППА 201. МАТЕМАТИКА. ТЕМА «Сложение и умножение вероятностей»

Сложение вероятностей

 События являются несовместными, или несовместимыми, если появление одного из них исключает появление другого.

 Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т. е. P(A+B)=P(A)+P(B).

 Пример:

в ящике находятся  9  шаров, среди них  2 белых, 3 красных и 4 зелёных. Наугад берётся один шар. Найди вероятность того, что вынули красный или зелёный шар.

 1способ. Пусть событие  A — появление красного шара, событие B — появление зелёного шара, тогда событие (A+B) — появление цветного шара. Очевидно, что     P(A)= 3 /9 = 1/3  ;    P(B)=   4/9

 Так как события  A и B несовместны, к ним применима теорема сложения вероятностей: P(A+B)=P(A)+P(B)= 1/3 +4/9 =7/9

Ответ: 7/9

Следствие. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице, т. е.

P(A)+P(A¯)=1.

Теорема

Для нахождения вероятности противоположного события следует из единицы вычесть вероятность самого события: P(A) = 1-P(A).

Пример:

в ящике находятся  9 шаров, среди них  2 белых,  3  красных и 4 зелёных. Наугад берётся один шар. Найди вероятность того, что вынули красный или зелёный шар.

 2 способ. Пусть событие C состоит в том, что вынули белый шар. Тогда противоположное ему событие C¯ состоит в том, что вынули не белый шар, то есть красный или зелёный. Очевидно, что P(C)= 2/9, а согласно следствию из теоремы имеем P(C¯)=1−P(C)=1− 2/9 = 7/9

Ответ: 7/9

Умножение вероятностей

 Два события (A) и (B) называют независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от появления или не появления другого события.

 Если события  A  и B независимы, то вероятность их одновременного наступления равна произведению вероятностей событий  A и B

.Пример:

в случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Какова вероятность того, что решка выпадет оба раза?

 Решение. Результат второй монеты не зависит от результата первой монеты и наоборот, поэтому события являются независимыми. Выпадение решки при одном подбрасывании монеты равно 1/2 , при втором подбрасывании — тоже 1/2.  Вероятность того, что решка выпадет два  раза, равна  1/2  1/2 = 1/4

Ответ: 1/4

 ЗАДАНИЕ:

 1.Запишите все определения

2. Запишите правила сложения и умножения вероятностей.