15.12.2021г. ГРУППА 201. МАТЕМАТИКА. ТЕМА «РЕШЕНИЕ  ЗАДАЧ  СЛОЖЕНИЕ  И УМНОЖЕНИЕ  СОБЫТИЙ»

Начнем с задачи.

Предположим, что вероятность получения вами пятерки за контрольную равна 0,5, а четверки – 0,3. Какова вероятность того, что за контрольную вы получите 4 или 5?

Некоторые сразу выпалят: «0,8», но почему именно так? Почему, например, не 0,15 (перемножили, а не сложили)? Разберемся.

Предположим, есть некоторый опыт, у которого есть n исходов. Из них наступлению события A  благоприятны k₁, а событию B – k₂ . Нетрудно по формуле найти вероятности наступления каждого из событий – это

соответственно   и 

. Но какова вероятность того, что наступит либо первое событие, либо второе? Иначе говоря, мы ищем вероятность объединения этих событий. Для этого надо выяснить, сколько у нас благоприятных исходов    k_{1 +} k₂?    Не совсем. Ведь может случиться так, что эти события выполнятся одновременно.

Тогда предположим, что события непересекающиеся, то есть не могут выполняться одновременно. Вот тогда получаем, что благоприятных исходов для объединения – k₁ +k₂    

Значит, вероятность объединения будет равна:

Вероятность объединения несовместных событий равна сумме их вероятностей.

Обратим внимание: здесь речь идет об ОДНОМ эксперименте, в результате которого может наступить либо первое событие, либо второе, но не оба сразу.

В частности, в примере с контрольной мы понимаем, что ученик не может одновременно получить за контрольную и 5, и 4 (речь идет об одной оценке за одну и ту же контрольную), значит, вероятность того, что он получит 4 или 5, равна сумме вероятностей, то есть, все-таки, 0,8.

Ответ: 0,8.

А что делать, если события пересекаются, то есть существуют исходы, благоприятные для них обоих? Такая ситуация будет рассмотрена в конце урока.

Еще один пример.

Задача 2

По статистике футбольный клуб «Вымпел» побеждает в очередном матче с вероятностью 0,2, играет вничью с вероятностью 0,5 и проигрывает с вероятностью 0,3. Какова вероятность того, что «Вымпел» не проиграет следующий матч, если верить статистике?

В данном случае задачу можно решить двумя способами.

Можно применить нашу формулу, ведь если он не проиграет, то он либо сыграет вничью, либо выиграет. Значит, вероятность этого равна 0,7.

А можно решить иначе: раз вероятность того, что он проиграет, нам дана – 0,3, то вероятность того, что он не проиграет, равна .

Как видите, ответы совпали.

Ответ: 0,7.

Задача 3

Произведение вероятностей

Предположим, что мы провели два разных опыта. Например, ученик написал два экзамена, и каждый из них он сдал на 5 с вероятностью 0,8. Какова вероятность того, что он сдал на 5 оба экзамена?

По аналогии некоторые из вас готовы к 0,8 прибавить 0,8 – это будет 1,6. Многовато для вероятности. Впрочем, если присмотреться, здесь совсем другая ситуация!

Если раньше мы имели дело с двумя непересекающимися событиями для одного эксперимента, то сейчас речь идет об исходах двух экспериментов. А кроме того, раньше мы говорили об объединении (то или то), а сейчас – о пересечении (и то, и то).

Пусть есть первый эксперимент, у него есть  

 исходов, из которых

благоприятствуют первому событию, а кроме этого, есть второй эксперимент, у него есть n₂ исходов, k₂ из которых благоприятствуют второму событию. Тогда всего исходов у двух экспериментов –

 (по правилу произведения из комбинаторики). Аналогично вариантов, когда выполнены оба события, будет

Значит, вероятность того, что оба события произойдут, равна 

Но это же равно произведению вероятностей наступления каждого из событий:

  и .

Мы предположили, что знаем, что благоприятных исходов в первом и втором случаях –

и k₂  соответственно. Но это два разных эксперимента. А что если впоследствии результат первого эксперимента повлияет на второй? Скажем, ученик первую контрольную написал на 2, после чего расстроился и вторую написал хуже, чем мог бы. Или, наоборот, лучше – если собрался. То есть события стали зависимы. А для наших выкладок важно иметь дело именно с независимыми событиями, отметим это.

Итак, мы доказали, что вероятность пересечения двух независимых событий равна произведению их вероятностей.

Разберем приведенный выше пример. Если вероятность сдать каждый экзамен равна 0,8 и если допустить, что экзамены сдаются независимо, имеем, что вероятность сдачи обоих равна 0,64. Повторимся: это верно только в том случае, когда мы считаем, что оценки за экзамены получаются независимо друг от друга.

Ответ: 0,64.

Задача 4

Предположим, что мы дважды подбросили монетку. Какова вероятность того, что оба раза выпадет орел?

Дано:

Найти:

Решение:

Предполагается, что монетка нормальная, то есть вероятность орла и решки – по 0,5. Но тогда вероятность двух орлов будет 0,25, так как события – независимые.

Это работает и для нескольких опытов, не только для двух. Например, вероятность трех орлов подряд будет 0,125, а вероятность ста орлов – !

Это иногда называется принципом суперпозиции.

Ответ: 0,25.

 Аналогичный принцип суперпозиции верен и для непересекающихся исходов в случае одного эксперимента:

Если вероятность получения тройки – 0,2, четверки – 0,2, пятерки – 0,1, то вероятность получить  хотя бы тройку будет равна:

Заключение

Вы еще не поняли, как же отличить, когда вероятности складывать, а когда перемножать? Очень просто! Если речь идет о двух итогах одного опыта – складываем. А если о двух разных опытах – перемножаем!

Пересекающиеся события

Предположим, что есть события n₁ и n₂, которые могут произойти в результате одного опыта, при этом их пересечение не пусто. Например, если мы подбрасываем кубик, то благоприятных исходов для события «число четно» – 3, для события «число делится на 3» – 2, но для события «число четно либо делится на 3» – не 5, так как есть исход 6, для которого выполняются оба события. Тогда мы знаем, что:

Это можно проиллюстрировать диаграммой, так называемой диаграммой Эйлера-Венна (см. Рис. 1).

Рис. 1. Пересечение событий  

Если объединить те исходы, которые благоприятствуют А₁ и те, которые благоприятствуют В₁, мы дважды посчитаем те исходы, которые благоприятствуют А и В. Значит, для подсчета благоприятных исходов к наступлению  или  нужно сложить благоприятные исходы для  и для , после чего вычесть благоприятные исходы для пересечения  и .

То же самое и с вероятностями, ведь к вероятностям мы переходим обычным делением на общее количество исходов.

Получаем формулу:     

 Например, посчитаем вероятность того, что случайно выбранное трехзначное число делится на 3 либо на 5. Всего чисел – 900. Чисел, делящихся на 3, – 300 (900 : 3)Чисел, делящихся на 5, – 180 (900 : 5). А чисел, делящихся на 3 и на 5, то есть чисел, делящихся на 15, – 60.

Решение:

А = (трёхзначное число : 3)

В = (трёхзначное число : 5)

Значит, 

 Домашнее задание

1. Два стрелка стреляют по мишени. Первый стрелок поражает мишень с вероятностью 0,9. Второй стрелок поражает мишень с вероятностью 0,8. Найти вероятность того, что мишень будет поражена.

2. Случайный эксперимент состоит в подбрасывании двух игральных костей. Одна из игральных костей окрашена в синий цвет, другая – в красный. Найти вероятность того, что на синей игральной кости выпадет число 3, а на красной игральной кости выпадет число 4.