20.12.2021 г. ГРУППА 201. МАТЕМАТИКА. ТЕМА «ПОВТОРЕНИЕ ТЕМЫ «Многогранники»

  Стереометрия — это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве. Фигуры, изучаемые стереометрией: куб, шар, конус, параллелепипед, пирамида и т.д. 

Это слово  происходит от древнегреческих слов «stereos» — объёмный, пространственный и «metria» — измерение.

Если поверхности геометрических тел составлены из многоугольников, то такие тела называются многогранниками.

 Грани — это многоугольники, из которых состоит многогранник. Две соседние грани не могут лежать в одной плоскости.

 Рёбра многогранника— это стороны граней, а вершины — это концы рёбер.

 Диагональ многогранника — это отрезок, который соединяет две вершины, не принадлежащие одной грани.

Многогранники бывают выпуклыми и невыпуклыми. 

Выпуклый многогранник характеризуется тем, что он расположен по одну сторону от плоскости каждой своей грани. На рисунке выпуклый многогранник — октаэдр. У октаэдра восемь граней, все грани — правильные треугольники.

На рисунке — невыпуклый (вогнутый) многоугольник. Если рассмотреть, например, плоскость треугольника EDC, то, очевидно, часть многоугольника находится по одну сторону, а часть — по другую сторону этой плоскости.

Для дальнейших определений введём понятие параллельных плоскостей и параллельных прямых в пространстве и перпендикулярности прямой и плоскости.

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.

 Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

 Прямую называют перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой в этой плоскости.

 

Призма

 Теперь можем ввести определение призмы.

n-угольной призмой называют многогранник, составленный из двух равных n-угольников, лежащих в параллельных плоскостях, и n-параллелограммов, которые образовались при соединении вершин n-угольников отрезками параллельных прямых.

Равные n-угольники называют основаниями призмы.

 Стороны многоугольников называют рёбрами оснований.

 Параллелограммы называют боковыми гранями призмы.

 Параллельные отрезки называют боковыми рёбрами призмы.

 Призмы бывают прямыми и наклонными.

 Если основания прямой призмы — правильные многоугольники, то такую призму называют правильной.

 У прямых призм все боковые грани — прямоугольники. Боковые рёбра прямой призмы перпендикулярны к плоскостям её оснований.

 Если из любой точки одного основания провести перпендикуляр к другому основанию призмы, то этот перпендикуляр называют высотой призмы.

На рисунке — наклонная четырёхугольная призма, в которой проведена высота B1E.

В прямой призме каждое из боковых рёбер является высотой призмы.

На рисунке — прямая треугольная призма. Все боковые грани — прямоугольники, любое боковое ребро можно называть высотой призмы. У треугольной призмы нет диагоналей, так как все вершины соединены рёбрами

 На рисунке — правильная четырёхугольная призма. Основания призмы — квадраты. Все диагонали правильной четырёхугольной призмы равны, пересекаются в одной точке и делятся в этой точке пополам.

Четырёхугольная призма, основания которой — параллелограммы, называется параллелепипедом.

Вышеупомянутую правильную четырёхугольную призму можно также называть прямым параллелепипедом.

 Если основания прямого параллелепипеда — прямоугольники, то этот параллелепипед — прямоугольный.

На рисунке — прямоугольный параллелепипед. Длины трёх рёбер с общей вершиной называют измерениями прямоугольного параллелепипеда.

 Например, AB, AD и AA1 можно называть измерениями.

 Так как треугольники ABC и ACC1 — прямоугольные, то, следовательно, квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений:

AC12=AB2+AD2+AA12.

  Если через соответственные диагонали оснований провести сечение, получится то, что называют диагональным сечением призмы.

В прямых призмах диагональные сечения являются прямоугольниками. Через равные диагонали проходят равные диагональные сечения.

 На рисунке — правильная шестиугольная призма, в которой проведены два разных диагональных сечения, которые проходят через диагонали с разными длинами.

Основные формулы для расчётов в прямых призмах

1. Боковая поверхность Sбок.=Pосн.⋅H, где H — высота призмы. Для наклонных призм площадь каждой боковой грани определяется отдельно.

 2. Полная поверхность Sполн.=2⋅Sосн.+Sбок.. Эта формула справедлива для всех призм, не только для прямых.

 3. Объём V=Sосн.⋅H. Эта формула справедлива для всех призм, не только для прямых.

 Пирамида

n-угольная пирамида — многогранник, составленный из n-угольника в основании и n-треугольников, которые образовались при соединении точки вершины пирамиды со всеми вершинами многоугольника основания.

n-угольник называют основанием пирамиды.

Треугольники — боковые грани пирамиды.

Общая вершина треугольников — вершина пирамиды.

Рёбра, выходящие из вершины — боковые рёбра пирамиды.

Перпендикуляр от вершины пирамиды к плоскости основания называют высотой пирамиды.

На рисунке — шестиугольная пирамида GABCDEF, проведена высота пирамиды GH.

 Пирамиду, в основании которой правильный многоугольник, и высота соединяет вершину пирамиды с центром правильного многоугольника, называют правильной.

 У правильной пирамиды все боковые грани — равные равнобедренные треугольники. Если провести высоты этих треугольников, то они также будут равны.

Высоту боковой грани правильной пирамиды называют апофемой.

 На рисунке — правильная четырёхугольная пирамида. Высота пирамиды KO проведена от вершины K к центру основания O.

 Высота боковой грани KN — апофема.

 Если у правильной треугольной пирамиды все боковые грани — равносторонние треугольники (равные с основанием), то такую пирамиду называют правильным тетраэдром:

ΔABC=ΔABD=ΔACD=ΔBCDп.

 Если у многоугольника в основании есть диагонали, то через эти диагонали и вершину пирамиды можно провести диагональное сечение. 

На рисунке проведено диагональное сечение правильной четырёхугольной пирамиды.

Основные формулы для расчётов в правильных пирамидах

1. Боковая поверхность Sбок.=Pосн.⋅h2, где h — апофема. Для пирамид, которые не являются правильными, необходимо определить отдельно поверхность каждой боковой грани.

 

2. Полная поверхность Sполн.=Sосн.+Sбок.. Эта формула справедлива для всех пирамид, не только для правильных.

 3. Объём V=13⋅Sосн.⋅H, где H — высота пирамиды. Эта формула справедлива для всех пирамид, не только для правильных.

 ЗАДАИ

 1. Оформить  коспкт сообщия в вид таблицы.

2. Ршит задачи.

 1. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 12см и 5см.

Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45 .

Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда

2. В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 10см, а высота 12см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды

3. Найдите сторону основания и высоту правильной четырёхугольной призмы, если S_полн=90см²,

S_бок=40см².

4. В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна 12см, а апофема - 15см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

5. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 12см, а высота пирамиды 12 см. Найдите боковое ребро пирамиды.

6. В основании прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит параллелограмм со сторонами 3см и 6см и углом между ними 60. Диагональ B₁D образует с плоскостью основания угол 30. Найдите площадь боковой поверхности призмы.