ГРУППА  208.  Математика.  ТЕМА «Производная функции»

Процесс нахождения производной функции называется дифференцированием. Производную приходится находить в ряде задач курса математического анализа. Например, при отыскании точек экстремума и перегиба графика функции.

Как найти?

Чтобы найти производную функции нужно знать таблицу производных элементарных функций и применять основные правила дифференцирования:

1.     Вынос константы за знак производной: (Cu)′=C(u)′

·  ·  Производная суммы/разности функций: (u±v)′=(u)′±(v)′

 

·  ·  Производная произведения двух функций: (u⋅v)′=u′v+uv′

 

·  ·  Производная дроби: (uv)′=u′v−uv′v2

 

·  ·  Производная сложной функции: (f(g(x)))′=f′(g(x))⋅g′(x)

Примеры решения:

Пример 1

Найти производную функции y=x3−2x2+7x−1

 

Решение

Производная суммы/разности функций равна сумме/разности производных: y′=(x3−2x2+7x−1)′=(x3)′−(2x2)′+(7x)′−(1)′=

Используя правило производной степенной функции (x^р)′=px^р-1

имеем:

y′=3x^3-1−2⋅2x^2-1+7−0=3x²−4x+7

Так же было учтено, что производная от константы равна нулю.

Ответ

y′=3x2−4x+7

 

 

Пример 2

Найти производную функции y=sinx−ln3x

 

По правилу производной разности: y′=(sinx−ln3x)′=(sinx)′−(ln3x)′=

По таблице интегрирования находим:

(sinx)′=cosx

(lnx)′=1x

С учетом того, что аргумент натурального логарифма отличен от x, то нужно умножить ещё на производную самого аргумента:

y′=(sinx)′−(ln3x)′=cosx−1/3x⋅(3x)′=

После упрощения получаем:

=cosx−1/3x⋅3=cosx−1x

Ответ

y′=cosx−1x

 

Пример 3

Найти производную функции   y = (3x−1)⋅5x

 

Решение

В данном примере стоит произведение двух функций, а производная произведения находится по формуле номер 3: (u⋅v)′=u′v+uv′

y′=((3x−1)⋅5x)′=(3x−1)′5x+(3x−1)(5x)′=

Производная первой функции вычисляется как разность фунций:

(3x−1)′=(3x)′−(1)′=3(x)′−(1)′=3

Вторая функция является показательной, производная которой находится по формуле: (ax)′=axlna

: (5x)′=5xln5

Продолжаем решение с учетом найденных производных:

y′=(3x−1)′5x+(3x−1)(5x)′=3⋅5x+(3x−1)5xln5

Ответ

y′=3⋅5x+(3x−1)5xln5

ЗАДАНИЕ   1. Решить  самостоятельно:      Пример 1. Найти производные функций 1.  У = х15                    2.  У = х1/2                                                                               У = х-5                                  у = х-2/7                    3. у = ( 4х – 3)2          у = (5х + 2)-2