08.11.2021г. ГРУППА 201. МАТЕМАТИКА. ТЕМА «РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ»

Для решения задач по теме необходимо вспомнить:

- какой многогранник называется усечённой пирамидой?

- вспомнить элементы усечённой пирамиды:  основания (верхнее, нижнее), высота, апофема, центры пирамиды и как их можно определить.

- знать формулы боковой и полной поверхности пирамиды

-знать формулы теоремы Пифагора, свойства правильного треугольника.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Задание 1. В пятиугольной пирамиде все боковые грани равны между собой. Площадь основания равна 42, а площадь боковой грани на 15 меньше. Чему равна площадь полной поверхности пирамиды?

Решение

Поскольку в пирамиде все боковые грани равны, то и площади их будут равны. Знаем, что площадь боковой грани на 15 меньше площади основания, значит она равна 27. В пятиугольной пирамиде боковых граней 5.

Таким  образом, площадь полной поверхности равна 27∙5+42 = 177.

Ответ: 177

Задание 2. В правильной пирамиде высота боковой грани равна 10, а в основании лежит квадрат со стороной 4. Чему равна площадь боковой поверхности?

Решение

Боковая грань пирамиды – это треугольник. Все боковые грани этой пирамиды равны между собой, так как пирамида правильная. Вычислим площадь треугольника: ½∙4∙10=20.

 В основании пирамиды лежит квадрат, значит боковых граней будет 4. Таким образом, площадь боковой поверхности равна 4∙ 20=80.

Ответ: 80

№ 268

Дано: MABCD - правильная пирамида, А1В1С1 || АВС, МО1 : O1O = 1 : 2, NK - апофема, NK = 4 дм, Syc.пиp. = 186 дм.

Найти: ОО1 - ?

Решение: Рассмотрите ΔМКО. Так как NO₁ || KO, то МО1₁ : МО = O₁ N : OK, значит, стороны В₁ С₁  : ВС = МО₁ : МО. В₁ С₁ = 1 : 3. Пусть В₁ С₁ = х,         ВС = 3х. Имеем

(не удовлетворяет условию задачи);       В₁ С₁ = 3 (см), NО = 1,5 (см);  ВС = 9 (см),  ОК = 4,5 (см); KF = OK – NO₁ = 3. Из ΔKNF по теореме Пифагора

           (Ответ: √7 дм.)

 № 269.

Дано: АВСА₁ В₁ С₁ — усеченная пирамида. АВ = ВС = АС = 4 см;                          A₁ B₁ = B₁ C₁ = A₁ C₁ = 2 см;    АА₁ = 2 см.      Найти: МК- ? A\F\ - ?

Решение: Пусть О и О₁ - центры оснований пирамиды.

1) Из ΔАВС имеем: АВ = R√3, R = АО.

2) Из ΔА₁ B₁ C₁ находим       

3) EK = ОK - OE, ОЕ = O₁ М, отсюда

4) Из ΔAA₁ F имеем:    

5) Из ΔМЕК имеем:       МК2 =МЕ2 +ЕК2       МК =                       

   =                      (Ответ: )

 

ЗАДАНИЕ: выполнить самостоятельно

Вариант I

1. Из данных утверждений выберите верное: а) все ребра правильной пирамиды равны; б) площадь поверхности пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему; в) боковые грани усеченной пирамиды - трапеции; г) утверждения a-в не верны.

2. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, все грани которой наклонены к основанию под углом 60°, а в основании лежит прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 6 см.

а) 9 см2, б) 10 см2, в) 12 см2, г) другой ответ.

3. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 5 см, а плоский угол при вершине пирамиды 60°. Найдите боковое ребро пирамиды

а) 6 см, б)

    в) 5 см, г)

  д) другой ответ.

4. В основании пирамиды SABC лежит равнобедренный треугольник ABC, в котором ВС = 12 см, а АВ = АС = 10 см. Найдите площадь сечения ASM, если оно перпендикулярно плоскости основания, а все боковые ребра пирамиды равны 10 см.

а)

  б)

  в) 31 см2, г) другой ответ.

5. Боковые ребра пирамиды SABC равны между собой. SD - высота пирамиды. Точка D лежит внутри ΔABC. ТреугольникABC:

а) прямоугольный;

б) остроугольный;

в) тупоугольный;

г) недостаточно данных.

6. Найдите площадь диагонального сечения правильной усеченной четырехугольной пирамиды, если ее высота равна √2 см, а стороны основания 1 см и 4 см.

а) 10 см2, б) 2,5 см2, в) 5 см2, г) другой ответ.