08.11.2021г.  ГРУППА 201.  МАТЕМАТИКА. ТЕМА. "Усеченная пирамида"

      На прошлых уроках мы работали с пирамидами. Давайте вспомним, какой многогранник называется пирамидой, что такое правильная пирамида, вспомним свойства правильной пирамиды.

Многогранник, составленный из n –угольника  и n- треугольников, называется пирамидой.

Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Все боковые ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.

Пусть нам дана пирамида PA₁A₂…A_n. Проведем секущую плоскость β, параллельную плоскости основания пирамиды и пусть эта плоскоспересекает боковые ребра в точках B_1,B₂,…, B_n.

Плоскость β разбивает пирамиду на две фигуры: пирамиду PB₁B₂…B_n  и многогранник. Многогранник, гранями которого являются n-угольники A₁A₂…A_n и B₁B₂…B_n, расположенные в параллельных плоскостях и n четырехугольников A₁A₂B₂B₁, A₂A₃B₃B₂,…, A_nA₁B₁B_n называется усеченной пирамидой.

Вокруг нас много примеров усеченных пирамид. Вытяжка над кухонной плитой имеет форму усеченной пирамиды,.клавиши клавиатуры и другие предметы.

N-угольники A₁A₂…A_n и B₁B₂…B_n называются соответственно верхним и нижним основанием. Четырехугольники A₁A₂B₂B₁, A₂A₃B₃B₂,…, A_nA₁B₁B_n называются боковыми гранями.

Отрезки A₁B₁,…, A_nB_n называются боковыми рёбрами усеченной пирамиды.

Усеченную пирамиду обозначают так A₁A₂…A_nB₁B₂…B_n. Возьмем на верхнем основании произвольную точку C и из этой точки опустим перпендикуляр на нижнее основание. Этот перпендикуляр называется высотой усеченной пирамиды.

Боковые грани усеченной пирамиды – это трапеции.

Как и в случае с пирамидой, усеченная пирамида тоже может быть правильной.

Усеченная пирамида называется правильной, если она получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию.

Основаниями усеченной пирамиды являются правильные многоугольники, а боковые грани – равнобедренные трапеции.

Высоты этих трапеций называются апофемами.

Объединение боковых граней называется боковой поверхностью усеченной пирамиды, а объединение всех граней называется полной поверхностью усеченной пирамиды. Тогда площадью боковой поверхности пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней.

А площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех ее граней.

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров основания на апофему.

А теперь порешаем.

Задача. Стороны оснований правильной усеченной четырехугольной пирамиды  равны 3см и 9см. Высота пирамиды равна 4см. Найти площадь боковой поверхности.

Решение.

Ответ. 120 см²

Решим еще одну задачу.

Задача. Пирамида пересечена плоскостью, параллельной основанию. Доказать что боковые ребра и высота пирамиды делятся этой плоскостью на пропорциональные части.

Что и требовалось доказать.

Решим еще одну задачу.

Задача. Правильная треугольная пирамидас  высотой  и стороной основания равной  рассечена плоскостью , проходящей через середину высоты  параллельно основанию. Найти площадь боковой поверхности полученной усеченной пирамиды.

Подсказка:  при решении этих задач вы должны вспомнить, какие треугольники подобны и свойства подобных треугольников.

Выполните тест

Тест. Усеченная пирамида

Вопрос 1

Закончите фразу:

Боковые грани усеченной пирамиды - ....

Вопрос 2

Выберите верные высказывания:

- Усеченная пирамида называется правильной, если она получена сечением - правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию.

- Основания правильной усеченной пирамиды - трапеции

- Основания правильной усеченной пирамиды - правильные n-угольники

- Боковые грани правильной усеченной пирамиды - равнобедренные трапеции

Вопрос 3

Выберите верное утверждение:

- Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению суммы периметров основания на высоту.

- Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров основания на высоту.

- Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров основания на апофему.

- Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению суммы периметров основания на апофему.

Вопрос 4

Укажите плоскость, которая будет верхним основанием усеченной пирамиды:

A1A2....An

B1B2....Bn

A1B1B2A2

Вопрос 5

Укажите плоскость, которая будет нижним основанием усеченной пирамиды:

A1A2....An

B1B2....Bn

A1B1B2A2

Вопрос 6

Укажите плоскость, которая будет боковой гранью усеченной пирамиды:

 

A1A2....An

B1B2....Bn

A1B1B2A2

Вопрос 7

Стороны оснований правильной усеченной четырехугольной пирамиды ABCDA1B1C1D1 равны 3 см и 9 см. Высота пирамиды равна 4 см. Найти площадь боковой поверхности. В ответ запишите только число без единиц измерения. Например, 25

Вопрос 8

Пирамида пересечена плоскостью, параллельной основанию.  Укажите верное утверждение.
 - боковые ребра и высота пирамиды делятся этой плоскостью на пропорциональные части

- боковые ребра и высота пирамиды делятся этой плоскостью на равные части.

Вопрос 9

Сколько углов имеет боковая грань усеченной пирамиды?

Вопрос 10

Усеченная пирамиды имеет 16 вершин. Сколько сторон у каждого из оснований этой пирамиды?