13.11.2021г. ГРУППА 206. МАТЕМАТИКА. ТЕМА «СЕЧЕНИЕ ПИРАМИДЫ»

Сечение пирамиды плоскостью представляет собой плоскую фигуру и содержит в себе точки принадлежащие как поверхности пирамиды так и секущей плоскости. Пирамида это многогранник - геометрическое тело боковой  поверхностью которого служат плоские грани в виде треугольников.

ВИДЫ СЕЧЕНИЙ:

1. Диагональное сечение- – секущая плоскость проходит через вершину фигуры и диагональ основания. У четырехугольной пирамиды таких сечения два (по одному на каждую диагональ):

Если секущая плоскость параллельны основанию пирамиды, она делит её на две фигуры: подобную пирамиду и усечённую пирамиду. Сечением является подобный  основанию многоугольник. 

На данном рисунке:

- пирамиды ЕАВСД и Е1А1В1С1Д1 подобны

- четырёхугольники АВСД и А1В1С1Д1 подобны.

Примечание: существуют и другие виды сечений.

Пошаговое построение сечения: треугольная пирамида.

В этой статье мы построим несколько сечений треугольной пирамиды, будем при этом использовать метод следов. Сначала мы рассмотрим самые простые случаи: когда точки, через которые должно пройти сечение, принадлежат ребрам пирамиды. Потом – случаи сложнее, когда одна или две из точек плоскости сечения принадлежат граням пирамиды. Поехали!

Задача 1. Построить сечение пирамиды, проходящее через точки P, Q, R.

Дано

Сначала надо попробовать отыскать такие точки, которые принадлежат одной плоскости. У нас это точки P и Q – они принадлежат грани ASC, а

Также пара Р и R – они принадлежат грани АВС. Их  можно сразу соединять.

 

                                                                 Шаг 1

Теперь, чтобы понять, как плоскость рассечет грань SBC, нужно заполучить точку в этой грани, или в плоскости, которой принадлежит грань. Но нужна нам не любая, а особенная точка, которая также будет принадлежать и плоскости сечения. Чтобы точка принадлежала плоскости нужно, чтобы она принадлежала прямой этой плоскости. Заметим, что прямая PR лежит в плоскости основания и принадлежит искомому сечению. Прямая CB тоже лежит в плоскости основания, но не только. Она еще лежит в плоскости грани SBC, где нам необходима точка, чтобы построить сечение.  Воспользуемся случаем: найдем точку, где прямые PR и CB пересекутся. Такая точка принадлежит сечению, а также плоскостям боковой (SBC) и нижней (ABC)  граней пирамиды.

                                                                  Шаг 2

Так как построенная точка T и точка Q лежат в одной плоскости, то можем соединить их прямой

                                                                  Шаг 3

Эта прямая пересечет ребро SB в точке F – это и есть еще одна нужная нам точка для построения сечения. Соединяем R и F – они лежат в одной плоскости (SAB). Теперь смотрим: можно ли пройти по линиям сечения, принадлежащим граням пирамиды,  от точки P и снова попасть в нее непрерывным маршрутом? Если да, то построение окончено. У нас такой маршрут замкнутый: P-Q-F-R-P. Это и есть сечение.

                                                                 Шаг 4

Задача 2. Построить сечение пирамиды, проходящее через точки P, Q, R

                                                                     Дано

    Видим, что точки R и Q принадлежат одной грани пирамиды – SCB – и соединяем их.

             

                                                             Шаг 1

Можно, конечно, было бы сразу и точки P и Q соединить – они тоже лежат в одной плоскости – плоскости грани SAB. Но это успеется, пока что нам нужна точка в плоскости грани SAC, да такая, чтобы принадлежала и сечению. Поэтому она должна принадлежать прямой искомого сечения, и прямой, принадлежащей плоскости SAB, то есть быть пересечением таких прямых. Продлим SC до пересечения с прямой QR  -и получим такую точку.

                                                                   Шаг 2

Точка X и точка P принадлежат одной плоскости, можем их соединить и получить точку пересечения данной прямой с ребром AC:

                                                                    Шаг 3

Соединяем E  с R, P с Q, и получаем сечение

                                                                 Шаг 4.

 Задача 3.     . Построить сечение пирамиды, пролходящей через точки  SPRQ

                                                                  Дано

Теперь, уже имея опыт, первый шаг выполняем без проблем:

                                                            Шаг 1.

Понимаем, что нет точки в задней грани. Вернее, одна есть – P – но второй не хватает. Аналогично, есть одна точка в нижней грани – в плоскости основания, а второй точки нет. Определим такую точку: пересечем AC и PQ. Обе прямые лежат в плоскости SAC, PQ принадлежит плоскости сечения, поэтому их пересечение будет принадлежать обеим плоскостям:

Шаг 2

Теперь имеем две точки в плоскости основания – U и R, и можем смело соединять их:

                                                            Шаг 3

Прямая UR пересечет ребро AB в точке Z.  Теперь маршрут Q-R-Z-P-Q замкнут, можем достраивать сечение:

ЗАДАНИЕ:

Постройте сечение четырёхугольной пирамиды: