Блог преподавателя ГБОУ СПО ЛНР "Комиссаровский колледж

12.11.2021г. ГРУППА 206. МАТЕМАТИКА. ТЕМА «СЕЧЕНИЯ КУБА»

Плоскость может пересекать минимум три ребра, и тогда в сечении получается треугольник (см. рис. 37). Меняя наклон плоскости можно получить равнобедренный или даже равносторонний треугольник.

Рис. 37. Сечение куба – треугольник

Если плоскость параллельна грани, то в сечении получим квадрат (см. рис. 38).

Рис. 38. Сечение куба – квадрат

Если секущая плоскость параллельна ребру, то получим прямоугольник (см. рис. 39).

Рис. 38. Сечение куба – прямоугольник

Если совсем избавиться от параллельности ребру или грани, то получим параллелограмм (см. рис. 39).

Рис. 39. Сечение куба – параллелограмм

Озвученные выше утверждения мы сможем доказать чуть позже, когда докажем, что плоскость пересекает две параллельные плоскости по параллельным прямым.

Секущая плоскость может пересекать 5 или все 6 граней. В сечении будут получаться пятиугольник (см. рис. 40) или шестиугольник (см. рис. 41).

Рис. 40. Сечение куба – пятиугольник

Рис. 41. Сечение куба – шестиугольник

Построение сечения куба

Решим задачу: Построить сечение куба

плоскостью, проходящей через точки: KLM

Сечение многогранника плоскостью представляет собой плоский многоугольник, вершины которого принадлежат ребрам, а стороны - граням многогранника.

При построения сечения для нас важно, что две соседние вершины сечения должны принадлежать одной грани многогранника. Отрезок, соединяющий вершины, не лежащие в одной грани, не является стороной сечения.

В этой задаче ни одна пара точек, через которые мы должны провести сечение, не лежит в одной грани куба, поэтому мы не можем соединить никакие две из данных точек отрезком, чтобы найти сторону сечения.

В этом случае для построения сечения мы введем вспомогательную плоскость.

Мы введем вспомогательную плоскость следующим образом.

Найдем ортогональную проекцию точки К на плоскость основания куба, получим точку

Найдем ортогональную проекцию точки L на плоскость основания куба, это точка С. Затем через параллельные прямые

и LCпроведем вспомогательную плоскость K ₁KL (голубая плоскость). Точка N - точка пересечения прямых KL и K₁ C и, следовательно, она лежит в плоскости искомого сечения и в плоскости основания.

Прямая MN лежит и в плоскости сечения, и в плоскости основания куба, поэтому точка R -точка пересечения прямой с ребром является вершиной сечения, лежащей в одной грани с вершиной М.