13.11.2021г.  201 ГРУППА . ТЕМА. «Сечения многогранников».

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

- Решение задач, сводящихся к доказательству, связанному с построением сечения многогранника

- Построение сечения многогранников

- Решение задач на нахождение площадей сечений многогранников

Площадь

треугольника        S=½hа

трапеции                S=½h(а+b)

параллелограмма S=hа

Основная литература:

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия. 10–11 классы : учеб.для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни – М.: Просвещение, 2014. – 255, сс. 121-126.

Открытые электронные ресурс:

Образовательный портал “Решу ЕГЭ”. https://mathb-ege.sdamgia.ru/test?theme=177

 Теоретический материал для самостоятельного изучения

       Сечение — это плоская фигура, которая образуется при пересечении пространственной фигуры плоскостью и граница которой лежит на поверхности пространственной фигуры.

Определение: две прямые параллельны, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Если через две прямые нельзя провести одну плоскость, то такие прямые скрещиваются.  

Теорема о параллельности трех прямых: если a∥b, b∥c, то и a∥c.   Определение: прямая и плоскость параллельны, если они не имеют общих точек.  

 Признак параллельности прямой и плоскости: прямая, не лежащая в плоскости, параллельна этой плоскости, если она параллельна некоторой прямой из этой плоскости.  

Определение:  две плоскости параллельны, если они не имеют общих точек.  

Признак параллельности двух плоскостей:  если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым из другой плоскости, то такие плоскости параллельны.  

Если две плоскости пересекаются, то их линия пересечения — прямая.  

Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то их линии пересечения параллельны (см. рис.)

Следом называется прямая, по которой плоскость сечения пересекает плоскость любой из граней многогранника.

№1 SABCD – четырехугольная пирамида, в основании которой лежит квадрат ABCD, а две боковые грани SAB и SAD представляют собой прямоугольные треугольники с прямым углом ∠A.   Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью α, если SA=AB=a.

Решение:     сначала построим сечение по условию задачи.

1)Пусть AC∩BD=O. Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. Заметим, что т.к. ∠SAB=∠SAD=90∘⇒SA⊥(ABC).   Проведем в плоскости SAC прямую OK∥SC. Т.к. O – середина AC, то по теореме Фалеса K – середина SA. Через точку K в плоскости SAB проведем KM∥SB (следовательно, M – середина AB). Таким образом, плоскость, проходящая через прямые OK и KM, и будет искомой плоскостью.  

Необходимо найти сечение пирамиды этой плоскостью. Соединив точки O и M, получим прямую MN.   Т.к. α∥(SBC),то α пересечет плоскость SCD по прямой NP∥SC (если NP∩SC≠∅, то α∩(SBC)≠∅, что невозможно ввиду их параллельности).   Таким образом, KMNP – искомое сечение, причем KP∥AD∥MN⇒ это трапеция.  

2)Т.к. все точки K,M,N,P – середины отрезков SA,AB,CD,SD соответственно, то:   а) MN=AD=a   б) KP=1/2AD=a/2   в) KM=1/2SB=a 2/2   Заметим, что по теореме о трех перпендикулярах SB⊥BC⇒KM⊥MN. Таким образом, KMNP – прямоугольная трапеция.   S_KMNP=(KP+MN)* KM/ 2 =3 a²/8

Ответ:3 a²/8

№2 Найди площадь сечения прямой призмы, проходящей через середины ребер,  если 

 =120°, АВ=5 см, ВС=3см и наибольшая из площадей боковых граней равна 35см² .

Решение:

боковая грань прямой призмы является прямоугольником.

Площадь каждой боковой грани равна произведению высоты призмы на сторону основания.

То есть большая боковая грань содержит большую сторону основания.

По условию

 =120°,  – тупой, а поскольку напротив большей стороны лежит больший угол, то большей стороной основания будет сторона АС. Вычислим длину стороны АС по теореме косинусов 

Получим, что длина стороны АС=7см.

Зная большую сторону основания и площадь наибольшей боковой грани призмы, длину высоты призмы вычислить нетрудно.

 

Получим, что длина высоты призмы равна 

.Найдем площадь основания, а оно равно площади

сечения, по формуле .

Мы воспользуемся второй формулой. Получим, что площадь основания равна 

.№3 На ребре AB правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка Q, причём AQ:QB=1:2. Точка P — середина ребра AS.

Найдите площадь сечения DPQ, если площадь сечения DSB равна 6.

Решение:

пусть сторона основания пирамиды равна 3а, а высота пирамиды равна h. Тогда площадь сечения DSB равна

S=BD*SO/2= 3 =6

откуда ah=2 .

Площадь сечения DPQ равна    

  №4

Дана правильная четырехугольная призма ABCDA₁B₁C₁D₁. На ребре AA₁ отмечена точка K так, что AK : KA₁ = 1 : 2. Плоскость α проходит через точки B и K параллельно прямой AC. Эта плоскость пересекает ребро DD₁ в точке M, АВ=4, АА₁=6. Найдите площадь сечения.

Решение:

По теореме о трех перпендикулярах прямые BM и AC перпендикулярны, а значит, прямые BM и KL перпендикулярны. Площадь четырехугольника, диагонали которого взаимно перпендикулярны, равна половине произведения диагоналей. Найдем их: KL=AC=4  как диагональ квадрата, лежащего в основании призмы       по теореме Пифагора.

 Тогда

 

ЗАДАНИЕ:

1. Задача 1. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки: A₁; M ∈ B₁C₁; N ∈ AD.

2. Постройте диагональное сечение в кубе со стороной 2см. Найдите площадь этого сечения.