30.11.2021г.  ГРУППА201 ГЕОМЕТРИЯ.  ТЕМА "Пирамида. Площадь поверхности и объём"   

                                         Пирамида и ее элементы

n-угольной  пирамидой называется многогранник, одна грань которого - произвольный n-угольник, а все остальные п граней - треугольники, имеющие общую вершину.

Общую вершину треугольных граней называют вершиной пирамиды, противоположную ей грань - основанием, а все остальные грани - боковыми гранями пирамиды. Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми ребрами.

Перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость ее основания, называют высотой пирамиды.

На рис. 253 изображен четырехугольную пирамиду SABCD; точка S - ее вершина, ABCD - основание; SA, SB, SC, SD - боковые ребра; АВ, ВС, CD, AD - ребра основания; SO - высота пирамиды.

 Правильную треугольную пирамиду называют также тетраэдром. Сумму площадей всех боковых граней пирамиды называют площадью боковой поверхности пирамиды. Чтобы найти площадь всей поверхности пирамиды, нужно к площади Sбоков ее боковой поверхности прибавить площадь Sосн основания: S = Sб. + Sосн.

Пирамида называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с центром этого многоугольника (рис. 254). 

 Все боковые ребра правильной пирамиды равны, все боковые грани - равные равнобедренные треугольники. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой. На рис. 254 SF DC , SF - апофема.

 ЗАДАНИЕ:

1.  1. Сколько граней, ребер, вершин имеет n-угольная пирамида?

2.  2. Каждое ребро тетраэдра равен 2 см. Найдите площадь поверхности тетраэдра.

3.  3. Постройте треугольную и четырехугольную пирамиды.

 Площадь поверхности и объем пирамиды

Теорема. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна произведению полупериметра ее основания на апофему.

Доказательство:

Пусть а - сторона основания правильной n-угольной пирамиды (рис. 255). SH BC, SH = m.

Тогда площадь боковой грани

и правильной пирамиды равна  ½ am, а площадь боковой поверхности Sб. = ½ а ∙m ∙n. Так 1/2аn = р, где р - полупериметр основания пирамиды, то Sб. = pm.

Объем любой пирамиды равен трети произведения площади ее основания на высоту: V = 1/3 Sосн ∙ H.

Задачи. 1. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды, если сторона основания равна 12 см, а апофема 10 см.

1.  2. Найдите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, если сторона основания равна 16 см, а боковое ребро 10 см.

2.  3. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6 см, а высота 10 см.

Составьтет конспект (образец приведен в табл. 11).  

Таблица 11

Пирамида
n-угольная пирамида - многогранник, одна грань которого - произвольный n-угольник, а все остальные п граней - треугольники, имеющие общую вершину
S - вершина пирамиды; ABCD - основание пирамиды; ASAB, ASBC, ASCD, ASDA - боковые грани; SA, SB, SC, SD - боковые ребра; АВ, ВС, CD, AD - ребра основания; SO - высота, SO ABCD
Основание правильной пирамиды - правильный многоугольник, а основание высоты - центр многоугольника, SF - апофема, SF DC . Площадь боковой поверхности правильной пирамиды Sбоков = mp, где m - апофема, р - полупериметр основания. Объем пирамиды V = Sосн ∙ H

Решение задач

1.  1. В основании пирамиды SABC, изображенной на рис. 256, лежит прямоугольный треугольник ABC ( C = 90°), AC = 3 см, ВС = 4 см. Вычислите объем пирамиды, если высота SA равна 5 см. (Ответ. 10 см³)

 

 

1.  2. В основе ABCD правильной пирамиды SABCD лежит квадрат со стороной 10 см. Высота SO пирамиды равна 12 см. Найдите площадь поверхности и объем пирамиды. (Ответ. 360 см², 400 см³)

2.  3. Основание пирамиды - прямоугольник со сторонами 3 см и 5 см. Высота пирамиды 10 см. Найдите объем пирамиды. (Ответ. 50 см³)

3.  4. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, каждое ребро которой равно а. (Ответ. а³)

4.  5. Боковые ребра треугольной пирамиды попарно перпендикулярны и имеют длины 3 см, 4 см и 5 см. Найдите ее объем. (Ответ. 10 см³)

5.  6. В правильной четырехугольном пирамиде боковое ребро равно 10 см. Найдите:

а) высоту пирамиды, если диагональ основания равна 16 см;

б) апофему пирамиды, если сторона основания равна 12 см.

1.  7. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, боковое ребро которой равно 12 см и образует с высотой пирамиды угол 30°.

2.  8. Одна из самых величественных сооружений древности - пирамида Хеопса - имеет форму правильной четырехугольной пирамиды, высота которой равна 150 м, а боковое ребро - 220 м. Найдите площадь основания пирамиды. (Ответ. 51800 м²)

3.  9. На рис. 257 изображен развертку четырехугольной пирамиды, в основании которой лежит квадрат со стороной 6 см, боковые грани пирамиды - правильные треугольники. Найдите высоту пирамиды и ее объем. (Ответ. 3 см и 36 см³.)

 

1.  1. Изучить формулы площади поверхности и объема правильной пирамиды.

2.  2. Решить задачи.

3.  1) Найдите площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, каждое ребро которой равно а.

4.  2) В основании пирамиды лежит ромб с диагоналями 6 см и 8 см. Высота пирамиды равна 10 см. Найдите объем пирамиды.

5.  3) Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, диагональ основания которой равна 4 см, а боковое ребро образует с высотой пирамиды угол 45°.

 ОТВЕТИТЬ НА ВОПРОСЫ

1.  1. Что называется n-угольной пирамидой?

2.  2. Какая пирамида называется правильной?

3.  3. Какие свойства правильной пирамиды вам известны?

4.  4. Чему равна площадь поверхности пирамиды?

5.  5. Чему равна площадь боковой поверхности правильной пирамиды?

6.  6. Чему равен объем пирамиды?