30.12.2021г.  ГРУППА  306.  ФИЗИКА. ТЕМА.      «Сила Лоренца»

Сила Лоренца – сила, действующая на движущуюся заряженную частицу со стороны магнитного поля.

Формула для нахождения силы Лоренца:

где​q​ – заряд частицы, ​v​ – скорость частицы, ​B​ – модуль вектора магнитной индукции, ​α​ – угол между вектором скорости частицы и вектором магнитной индукции.

Направление силы Лоренца определяют по правилу левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы перпендикулярная к проводнику составляющая вектора магнитной индукции ​B⊥​ входила в ладонь, а четыре вытянутых пальца указывали направление скорости положительно заряженной частицы, то отогнутый на 90° большой палец покажет направление силы Лоренца.

Если заряд частицы отрицательный, то направление силы изменяется на противоположное.

Важно!
Если вектор скорости сонаправлен с вектором магнитной индукции, то частица движется равномерно и прямолинейно.

В однородном магнитном поле сила Лоренца искривляет траекторию движения частицы.

Если вектор скорости перпендикулярен вектору магнитной индукции, то частица движется по окружности, радиус которой равен:

где​m​ – масса частицы, ​v​ – скорость частицы, ​B​ – модуль вектора магнитной индукции, ​q​ – заряд частицы.

В этом случае сила Лоренца играет роль центростремительной и ее работа равна нулю. Период (частота) обращения частицы не зависит от радиуса окружности и скорости частицы. Формула для вычисления периода обращения частицы:

Угловая скорость движения заряженной частицы:

Важно!

Сила Лоренца не меняет кинетическую энергию частицы и модуль ее скорости. Под действием силы Лоренца изменяется направление скорости частицы.

Если вектор скорости направлен под углом ​α​ (0° < α < 90°) к вектору магнитной индукции, то частица движется по винтовой линии.

В этом случае вектор скорости частицы можно представить как сумму двух векторов скорости, один из которых, ​v₂​, параллелен вектору B⃗ , а другой, v₁, – перпендикулярен ему. Вектор v₁ не меняется ни по модулю, ни по направлению. Вектор v₂ меняется по направлению. Сила Лоренца будет сообщать движущейся частице ускорение, перпендикулярное вектору скорости v₁. Частица будет двигаться по окружности. Период обращения частицы по окружности – ​T​.

Таким образом, на равномерное движение вдоль линии индукции будет накладываться движение по окружности в плоскости, перпендикулярной вектору B⃗ . Частица движется по винтовой линии с шагом ​h=v2T​.

Важно!

Если частица движется в электрическом и магнитном полях, то полная сила Лоренца равна:

Особенности движения заряженной частицы в магнитном поле используются в масс-спектрометрах – устройствах для измерения масс заряженных частиц; ускорителях частиц; для термоизоляции плазмы в установках «Токамак».

 

Алгоритм решения задач о действии магнитного (и электрического) поля на заряженные частицы:

1.  сделать чертеж, указать на нем силовые линии магнитного (и электрического) поля, нарисовать вектор начальной скорости частицы и отметить знак ее заряда;

2. изобразить силы, действующие на заряженную частицу;

определить вид траектории частицы;

3. разложить силы, действующие на заряженную частицу, вдоль направления магнитного поля и по направлению, ему перпендикулярному;

4. составить основное уравнение динамики материальной точки по каждому из направлений разложения сил;

5. выразить силы через величины, от которых они зависят;

6. решить полученную систему уравнений относительно неизвестной величины;

7. решение проверить.

ЗАДАНИЕ:

1. Сделать конспект, выписать определения, формулы.

2. Ответить на вопросы:

    А)  Какая сила называется силой Лоренца? Запишите формулу.

    Б)  Как направлена сила Лоренца?

    В)  Как определяют силу Лоренца?  Запишите.

    Г)  Когда частица движется прямолинейно и равномерно?

   Д)  Когда частица движется по окружности?  Чему равен радиус окружности?

   Е)  Период обращения и угловая скорость равны…

   Ж) Чему будет равна полная сила Лоренца, если тело движется в электрическом и магнитном полях?

3. Решить задачу.

Определить радиус окружности и период обращения электрона в однородном магнитном поле с индукцией  В =0,01 Тл. Скорость электрона перпендикулярна вектору магнитной индукции и равна 10⁶ м/с. Масса электрона  m_е  = 9,1∙ 10^-31 кг, его заряд  q_е = - 1,6∙ 10^-19 Кл.

  

   

 

 

 29.12.2021  ГРУППА 403. ФИЗИКА. ТЕМА. СТРОЕНИЕ ТВЁРДЫХ ТЕЛ, ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ»

 Силы взаимодействия молекул

 Все молекулы вещества взаимодействуют между собой силами притяжения и отталкивания. Доказательство взаимодействия молекул: явление смачивания, сопротивление сжатию и растяжению, малая сжимаемость твердых тел и газов и др.

Причина взаимодействия молекул - это электромагнитные взаимодействия заряженных частиц в веществе. Как это объяснить? Атом состоит из положительно заряженного ядра и отрицательно заряженной электронной оболочки. Заряд ядра равен суммарному заряду всех электронов, поэтому в целом атом электрически нейтрален. Молекула, состоящая из одного или нескольких атомов, тоже электрически нейтральна.

Рассмотрим взаимодействие между молекулами на примере двух неподвижных молекул. Между телами в природе могут существовать гравитационные и электромагнитные силы. Так как массы молекул крайне малы, ничтожно малые силы гравитационного взаимодействия между молекулами можно не рассматривать. На очень больших расстояниях электромагнитного взаимодействия между молекулами тоже нет. Но, при уменьшении расстояния между молекулами молекулы начинают ориентироваться так, что их обращенные друг к другу стороны будут иметь разные по знаку заряды (в целом молекулы остаются нейтральными), и между молекулами возникают силы притяжения. При еще большем уменьшении расстояния между молекулами возникают силы отталкивания, как результат взаимодействия отрицательно заряженных электронных оболочек атомов молекул. В итоге на молекулу действует сумма сил притяжения и отталкивания.

 

     На больших расстояниях преобладает сила притяжения (на расстоянии 2-3 диаметров молекулы притяжение максимально), на малых расстояниях сила отталкивания. Существует такое расстояние между молекулами, на котором силы притяжения становятся равными силам отталкивания. Такое положение молекул называется положением устойчивого равновесия. Находящиеся на расстоянии друг от друга и связанные электромагнитными силами молекулы обладают потенциальной энергией. В положении устойчивого равновесия потенциальная энергия молекул минимальна. В веществе каждая молекула взаимодействует одновременно со многими соседними молекулами, что также влияет на величину минимальной потенциальной энергии молекул. Кроме того, все молекулы вещества находятся в непрерывном движении, т.е. обладают кинетической энергией. Таким образом, структура вещества и его свойства (твердых, жидких и газообразных тел) определяются соотношением между минимальной потенциальной энергией взаимодействия молекул и запасом кинетической энергии теплового движения молекул.

 Строение и свойства твердых, жидких и газообразных тел

 Строение тел объясняется взаимодействием частиц тела и характером их теплового движения.

 Твердое тело

 Твердые тела имеют постоянную форму и объем, практически несжимаемы. Минимальная потенциальная энергия взаимодействия молекул больше кинетической энергии молекул. Сильное взаимодействие частиц. Тепловое движение молекул в твердом теле выражается только лишь колебаниями частиц (атомов, молекул) около положения устойчивого равновесия. Из-за больших сил притяжения молекулы практически не могут менять свое положение в веществе, этим и объясняется неизменность объема и формы твердых тел

. Большинство твердых тел имеет упорядоченное в пространстве расположение частиц, которые образуют правильную кристаллическую решетку. Частицы вещества (атомы, молекулы, ионы) расположены в вершинах - узлах кристаллической решетки. Узлы кристаллической решетки совпадают с положением устойчивого равновесия частиц. Такие твердые тела называются кристаллическими.

  Жидкость

Жидкости имеют определенный объем, но не имеют своей формы, они принимают форму сосуда, в которой находятся. Минимальная потенциальная энергия взаимодействия молекул сравнима с кинетической энергией молекул. Слабое взаимодействие частиц. Тепловое движение молекул в жидкости выражено колебаниями около положения устойчивого равновесия внутри  объема, предоставленного молекуле ее соседями.  Молекулы не могут свободно перемещаться по всему объему вещества, но возможны переходы молекул на соседние места. Этим объясняется текучесть жидкости, способность менять свою форму.

      В жидкостях молекулы достаточно прочно связаны друг с другом силами притяжения, что объясняет неизменность объема жидкости. В жидкости расстояние между молекулами равно приблизительно диаметру молекулы. При уменьшении расстояния между молекулами (сжимании жидкости) резко увеличиваются силы отталкивания, поэтому жидкости несжимаемы. По своему строению и характеру теплового движения жидкости занимают промежуточное положение между твердыми телами и газами. Хотя разница между жидкостью и газом значительно больше, чем между жидкостью и твердым телом. Например, при плавлении или кристаллизации объем тела изменяется во много раз меньше, чем при испарении или конденсации.

 Газ

 Газы не имеют постоянного объема и занимают весь объем сосуда, в котором они находятся.

Минимальная потенциальная энергия взаимодействия молекул меньше кинетической энергии молекул. Частицы вещества практически не взаимодействуют. Газы характеризуются полной беспорядочностью расположения и движения молекул. Расстояние между молекулами газа во много раз больше размеров молекул. Малые силы притяжения не могут удержать молекулы друг около друга, поэтому газы могут неограниченно расширяться. Газы легко сжимаются под действием внешнего давления, т.к. расстояния между молекулами велики, а силы взаимодействия пренебрежимо малы. Давление газа на стенки сосуда создается ударами движущихся молекул газа.  

 ВЫПОЛНИТЕ  ТЕСТ

Вариант 3

1. Имеется два экспериментальных факта:

I. Если стеклянную бутылку с водой выставить на мороз, то бутылка лопнет.
II. Молоко долго не закисает, если его хранить в холо­дильнике.

В каком из этих случаев причиной наблюдаемого яв­ления служит охлаждение?

1) только в I
2) только во II
3) и в I, и во II
4) ни в I, ни во II

2. Различие между твердым и жидким состоянием веще­ства проявляется в том, что, в отличие от жидкого, твердое тело при небольших воздействиях на него … .

1) не сохраняет ни форму, ни объем
2) не сохраняет форму, но сохраняет объем
3) не сохраняет объем, но сохраняет форму
4) сохраняет и форму, и объем

3. В начале опыта в сосуде снизу находится концентриро­ванный раствор медного купороса, над ним — вода (рис. А). Как будет выглядеть содержимое сосуда через 2 часа, правильно показано на рисунке … .

1) А
2) Б
3) В
4) Г

4. Фарфоровая чашка с водой и металлическая ложка находятся рядом на столе в комнате длительное время. Ложку опускают в чашку с водой. В какой момент времени скорость беспорядочного движения атомов металла в ложке минимальна?

1) когда ложка находится на столе
2) в момент вхождения ложки в жидкость
3) когда ложка коснется дна чашки
4) скорость хаотического движения атомов металла одинакова везде

5. Вода смачивает стекло, но не смачивает парафин. Это различие объясняется так: между молекулами воды и стекла существуют силы притяжения, в то же время между молекулами воды и парафина … .

1) отсутствует всякое взаимодействие
2) существуют силы отталкивания
3) существуют силы притяжения, но они сильнее, чем силы притяжения между молекулами воды
4) существуют силы притяжения, но они слабее, чем силы притяжения между молекулами воды

6. На рисунке изображен опыт, в котором гладко отшлифованные пластинки свинца и золота кладут одна на другую и ставят на них дополнительный груз. Через несколь­ко лет вблизи границы соприкосновения металлов обнаруживается слой, содержащий и золото, и свинец. Это объясняется тем, что происходит … .

1) превращение атомов свинца в атомы золота
2) превращение атомов золота в атомы свинца
3) взаимное проникновение атомов одного вещества между атомами другого
4) отталкивание атомов свинца и золота друг от друга

 

 

 

 

 29.12.2021г. Группа  206.  МАТЕМАТИКА. ТЕМА.    «Бином Ньютона. Свойства биноминальных коэффициентов»

      На прошлом уроке мы познакомились с основами комбинаторики. Какие же ученые внесли вклад в развитие комбинаторики как науки? Одним из выдающихся умов того времени был английский ученый Исаак Ньютон.

Бином Ньютона.                                                                                                           .Слово бином означает «Два числа».  В математике биномом называют «формулу для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных». Давайте вслед за Ньютоном попробуем ее вывести, чтобы затем применять. Вы, наверняка,  помните (или, по крайней мере, должны помнить),  формулы сокращенного умножения для квадрата и куба суммы двух слагаемых (такая сумма называется «бином», по-русски – двучлен.

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Если вы забыли эти формулы, можно их получить напрямую, раскрыв скобки в очевидных ра венствах

    Может быть, вам приходил в голову вопрос: можно ли (без компьютера) получить формулы типа для биномов четвертой степени, пятой, десятой – какой угодно?        Давайте попробуем дойти напрямую хотя бы до пятой степени, а там, может быть, окажется «рояль в кустах» (для порядка будем размещать слагаемые в правой части по убыванию степени а, она убывает от максимума до нуля):

(a + b)⁴ = (a + b)(a + b)³ = (a + b) (a³ + 3a²b + 3ab² + b³)= a⁴ +4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴  

Теперь отдельно выпишем численные коэффициенты в правых частях формул при возведении бинома в заданную степень:

Возможно, вы уже догадались, что «рояль в кустах» – это треугольник Паскаля на предыдущей странице. Легко проверить, что выписанные на численные коэффициенты – это строчки треугольника Паскаля, начиная с третьей. Этот «усеченный треугольник», в котором не хватает первых двухстрок, легко сделать полным (получить строчки при и n=0 и n=1):

Окончательно получим:

Это утверждение было известно задолго до Паскаля - его знал живший в XI-XII вв. среднеазиатский математик и поэт Омар Хайям (к сожалению, его сочинение об этом до нас не дошло). Первое, дошедшее до нас описание формулы бинома Ньютона содержится в появившейся в 1265 г. книге среднеазиатского математика  ал-Туси, где дана таблица чисел  (биномиальных коэффициентов).

Европейские ученые познакомились с формулой бинома Ньютона, по-видимому, через восточных математиков. Детальное изучение свойств биномиальных коэффициентов провел французский математик и философ Б. Паскаль в 1654 г..

Теперь понятно, как возвести бином в любую степень n. В левой части записываем (а+b)ⁿ. А в правой части записываем сумму аⁿ + a^n-1b+ … + bⁿ , оставляя в каждом слагаемом место для коэффициента. И эти места заполняем числами из n–ой строчки треугольника Паскаля, которую, конечно, нужно заранее выписать.

Возведение двучлена a + b в степень n может быть произведено по формуле называемой разложением бинома Ньютона:

.(a +b)^m = C⁰_m a^m + C¹_m a^m-1b + C²_m a^m-2 b² + … Cⁿ_m a^m-n bⁿ + … + C_m^m-1 ab^m-1 + C_m^m b^m

Данную  формулу называют биномом Ньютона, а числа С_mⁿ – биномиальными коэффициентами, которые могут быть найдены по формуле

                   С_mⁿ = m!/(m-n)! n!

Пример:
(a + b)⁵ = a⁵ + C¹₅ a⁴ b + C²₅ a³b² + C³₅ a² b³ + C⁴₅ ab⁴ + C⁵₅ b⁵ = a⁵ + 5a⁴ b+ ¹⁰ + 10a² b³ + 5ab⁴ + b⁵

Таким образом можно записать формулу для возведения двучлена в любую степень. Давайте заметим некоторые свойства у слагаемых в разложении двучлена по формуле Бинома Ньютона.

 Свойства бинома Ньютона

1)  Число слагаемых на 1 больше степени бинома.

2)  Коэффициенты находятся по треугольнику Паскаля или равны числу сочетаний  Сⁿ_m, где n – степень двучлена , m – переменная величина, пробегающая значения от 0 до n и соответствующая степени второго выражения.

3) Коэффициенты симметричны.

 4) Если в скобке знак минус, то знаки + и – чередуются.

5)   Сумма степеней каждого слагаемого равна степени бинома.

6)  Сумма коэффициентов разложения ( a + b)ⁿ равна  2ⁿ .

 Мы знакомились с вами с применением бинома Ньютона при изучении формул сокращенного умножения.

ЗАДАНИЕ:

1. Внимательно прочтите сообщение. Выпишите  определение Бинома и формулу бинома Ньютона.

2.  Выпишите свойства бинома Ньютона

3. Записать разложение бинома:

А)  (1 +х)⁸;      б)  (3х +2)⁴;            в) (3х – 1/3)⁵

 

28.12.2021г. ГРУППА 206. ТЕМА «Практическая работа по теме: Решение комбинаторных задач»

Цель: изучить теоретические основы темы и выполнить задания по теме.

Порядок выполнения:

1 Изучите теоретические основы темы и примеры решения задач. Сделайте записи в тетрадь

Основные теоретические положения

Перестановки (n-число элементов)

Задача 1. На факультете изучается 16 предметов. На понедельник нужно расписание поставить 3 предмета. Сколькими способами можно это сделать?

Решение. Способов постановки в расписание трех предметов из 16 столько, сколько можно составить размещений из 16 элементов по 3.

.

Задача 2. Из 15 объектов нужно отобрать 10 объектов. Сколькими способами это можно сделать?

Решение.

Задача 3. В соревнованиях участвовало четыре команды. Сколько вариантов распределения мест между ними возможно?

Решение.

Задача 4. Сколькими способами можно составить дозор из трех солдат и одного офицера, если имеется 80 солдат и 3 офицера?

Решение. Солдат в дозор можно выбрать

способами, а офицеров

способами. Так как с каждой командой из солдат может пойти любой офицер, то всего имеется способов.

2 Выполните задания

1.Сколькими способами можно составить маршрут путешествия, проходящего через 5 городов?

2.Сколько различных двухзначных чисел можно составить, используя цифры 1, 2, 3, 4 при условии, что ни одна цифра не повторяется?

3.При встрече 16 человек обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий?

3 Запишите вывод

 

 

28.12.2021г. МАТЕМАТИКА. ГРУППА 206. ТЕМА «РЕШЕНИЕ КОМБИНАТОРНЫХ ЗАДАЧ

Определение

Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Слово «комбинаторика» происходит от латинского слова «combinare», что в переводе на русский означает – «сочетать», «соединять». Комбинаторные задачи возникли и в связи с такими играми, как шашки, шахматы, домино, карты, кости и т.д. 

Термин "комбинаторика" был введён знаменитым Готфридом Вильгельмом Лейбницем, - всемирно известным немецким учёным.

Комбинаторные задачи делятся на:задачи на перестановки, задачи на размещение, задачи на сочетание

Определение:Факториал – это произведение всех натуральных чисел от 1 до n.

Обозначение: n! = 1 · 2 · 3 · ... · n.Читается: «эн факториал».

Пример: 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24.

Кроме того: 0! = 1.

 

Задачи на перестановки

Сколькими способами можно расставить 3 различные книги на книжной полке?

Это задача на перестановки.

Решение: Выбираем одну из 3-х книг и ставим на первое место. Это можно сделать 3-мя способами.

Вторую книгу мы можем выбрать из 2-х оставшихся двумя способами, получаем 3·2 способов.

Третью книгу мы можем выбрать 1 способом.

Получится 3·2·1=6 способов.

Ответ: 6.

 

Определение:Перестановками из n элементов называются комбинации из n элементов, отличающиеся друг от друга только порядком расположения в них элементов.

Формула     

Типичная смысловая нагрузка: «Сколькими способами можно переставить n объектов?»

Пример 1. Сколькими способами можно расставить 8 участников финального забега на восьми беговых дорожках?

Решение: P₈= 8!=1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 ∙ 7 ∙ 8 = 40320.

Ответ: 40320.

 Самостоятельно

Задача 1. Сколькими способами можно составить расписание на один день, если в этот день предусмотрено 6 уроков по 6 разным предметам?

 Задача 2. Сколькими различными способами можно разместить на скамейке 10 человек?

Задача 3. Сколько слов можно получить, переставляя буквы в слове Гора?

Задача 4*. Сколько различных шестизначных чисел, кратных 5, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 при условии, что цифры в числе не повторяются?

 Задачи на размещения

Имеется 5 книг и одна полка, такая что на ней вмещается лишь 3 книги.

Сколькими способами можно расставить на полке 3 книги?

Это задача на размещение.

Решение: Выбираем одну из 5-ти книг и ставим на первое место на полке. Это можно сделать 5-ю способами.

Вторую книгу мы можем выбрать 4-мя способами и поставить рядом с одной из 5-ти возможных первых.

Таких пар может быть 5·4.

Третью книгу мы можем выбрать 3-мя способами.

Получится 5·4·3 разнообразных троек. Значит всего способов разместить 3 книги из 5-ти 5·4·3 = 60.

Ответ: 60.

Определение: Размещением из n элементов по k (k≤n) называется любое множество, состоящее из k элементов, взятых в определённом порядке из данных n элементов.

Формула:    
Типичная смысловая нагрузка: «Сколькими способами можно выбрать k объектов и в каждой выборке переставить их местами?»

 Пример 1. Учащиеся второго класса изучают 9 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нём было 4 различных предмета?

Решение:

Ответ: 3024.

 

Задача 1. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 2, 4, 6, 7, 9?

 Задача 2. В соревнованиях высшей лиги по футболу участвуют 18 команд. Борьба идет за золотые, серебряные и бронзовые медали. Сколькими способами могут быть распределены медали между командами?

 Задача 3. Сколькими способами можно опустить 5 писем в 11 почтовых ящиков, если в каждый ящик опускают не более одного письма?

 Задача 4. Боря, Дима и Володя сели играть в карты. Сколькими способами им можно сдать по одной карте? (колода содержит 36 карт)

 Задачи на сочетания

Сколькими способами можно расставить 3 тома на книжной полке, если выбирать их из имеющихся в наличии внешне неразличимых 5 книг?

Это задача на сочетания.

Решение: Книги внешне неразличимы. Но они различаются, и существенно! Эти книги разные по содержанию. Возникает ситуация, когда важен состав элементов выборки, но несущественен порядок их расположения.

123 124 125 134 135 145

234 235 245

345

Ответ: 10.

 Определение: Сочетанием из n элементов по k (kn) называется любое множество, составленное из k элементов, выбранных из данных n элементов (не имеет значения, в каком порядке указаны элементы).

Формула:  

Типичная смысловая нагрузка: «Сколькими способами можно выбрать k объектов из n?»

 Пример 1. В классе 7 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?

Решение:  по формуле сочетаний находим способы для выбора 2 для участия в олимпиаде:

Ответ: 21.

 Задача 1. На тренировках занимаются 12 баскетболистов. Сколько может быть организовано тренером разных стартовых пятерок?

 Задача 2. В ящике находится 15 деталей. Сколькими способами можно взять 4 детали?

 Задача 3. Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать 3 карты?

 Задача 4*. Для участия в команде тренер отбирает 5 мальчиков из 10. Сколькими способами он может сформировать команду, если 2 определенных мальчика должны войти в команду?