29.12.2021г. Группа  206.  МАТЕМАТИКА. ТЕМА.    «Бином Ньютона. Свойства биноминальных коэффициентов»

      На прошлом уроке мы познакомились с основами комбинаторики. Какие же ученые внесли вклад в развитие комбинаторики как науки? Одним из выдающихся умов того времени был английский ученый Исаак Ньютон.

Бином Ньютона.                                                                                                           .Слово бином означает «Два числа».  В математике биномом называют «формулу для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных». Давайте вслед за Ньютоном попробуем ее вывести, чтобы затем применять. Вы, наверняка,  помните (или, по крайней мере, должны помнить),  формулы сокращенного умножения для квадрата и куба суммы двух слагаемых (такая сумма называется «бином», по-русски – двучлен.

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Если вы забыли эти формулы, можно их получить напрямую, раскрыв скобки в очевидных ра венствах

    Может быть, вам приходил в голову вопрос: можно ли (без компьютера) получить формулы типа для биномов четвертой степени, пятой, десятой – какой угодно?        Давайте попробуем дойти напрямую хотя бы до пятой степени, а там, может быть, окажется «рояль в кустах» (для порядка будем размещать слагаемые в правой части по убыванию степени а, она убывает от максимума до нуля):

(a + b)⁴ = (a + b)(a + b)³ = (a + b) (a³ + 3a²b + 3ab² + b³)= a⁴ +4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴  

Теперь отдельно выпишем численные коэффициенты в правых частях формул при возведении бинома в заданную степень:

Возможно, вы уже догадались, что «рояль в кустах» – это треугольник Паскаля на предыдущей странице. Легко проверить, что выписанные на численные коэффициенты – это строчки треугольника Паскаля, начиная с третьей. Этот «усеченный треугольник», в котором не хватает первых двухстрок, легко сделать полным (получить строчки при и n=0 и n=1):

Окончательно получим:

Это утверждение было известно задолго до Паскаля - его знал живший в XI-XII вв. среднеазиатский математик и поэт Омар Хайям (к сожалению, его сочинение об этом до нас не дошло). Первое, дошедшее до нас описание формулы бинома Ньютона содержится в появившейся в 1265 г. книге среднеазиатского математика  ал-Туси, где дана таблица чисел  (биномиальных коэффициентов).

Европейские ученые познакомились с формулой бинома Ньютона, по-видимому, через восточных математиков. Детальное изучение свойств биномиальных коэффициентов провел французский математик и философ Б. Паскаль в 1654 г..

Теперь понятно, как возвести бином в любую степень n. В левой части записываем (а+b)ⁿ. А в правой части записываем сумму аⁿ + a^n-1b+ … + bⁿ , оставляя в каждом слагаемом место для коэффициента. И эти места заполняем числами из n–ой строчки треугольника Паскаля, которую, конечно, нужно заранее выписать.

Возведение двучлена a + b в степень n может быть произведено по формуле называемой разложением бинома Ньютона:

.(a +b)^m = C⁰_m a^m + C¹_m a^m-1b + C²_m a^m-2 b² + … Cⁿ_m a^m-n bⁿ + … + C_m^m-1 ab^m-1 + C_m^m b^m

Данную  формулу называют биномом Ньютона, а числа С_mⁿ – биномиальными коэффициентами, которые могут быть найдены по формуле

                   С_mⁿ = m!/(m-n)! n!

Пример:
(a + b)⁵ = a⁵ + C¹₅ a⁴ b + C²₅ a³b² + C³₅ a² b³ + C⁴₅ ab⁴ + C⁵₅ b⁵ = a⁵ + 5a⁴ b+ ¹⁰ + 10a² b³ + 5ab⁴ + b⁵

Таким образом можно записать формулу для возведения двучлена в любую степень. Давайте заметим некоторые свойства у слагаемых в разложении двучлена по формуле Бинома Ньютона.

 Свойства бинома Ньютона

1)  Число слагаемых на 1 больше степени бинома.

2)  Коэффициенты находятся по треугольнику Паскаля или равны числу сочетаний  Сⁿ_m, где n – степень двучлена , m – переменная величина, пробегающая значения от 0 до n и соответствующая степени второго выражения.

3) Коэффициенты симметричны.

 4) Если в скобке знак минус, то знаки + и – чередуются.

5)   Сумма степеней каждого слагаемого равна степени бинома.

6)  Сумма коэффициентов разложения ( a + b)ⁿ равна  2ⁿ .

 Мы знакомились с вами с применением бинома Ньютона при изучении формул сокращенного умножения.

ЗАДАНИЕ:

1. Внимательно прочтите сообщение. Выпишите  определение Бинома и формулу бинома Ньютона.

2.  Выпишите свойства бинома Ньютона

3. Записать разложение бинома:

А)  (1 +х)⁸;      б)  (3х +2)⁴;            в) (3х – 1/3)⁵