24.11.2021г. ГРУППА  206.  МАТЕМАТИКА.Тема "Тела вращения. Конус" 

Историческая справка

Конус в переводе с греческого “konos” означает “сосновая шишка”. С конусом люди знакомы с глубокой древности. В 1906 году была обнаружена книга Архимеда (287-212 гг. до н.э.) “О методе”, в которой дается решение задачи об объеме общей части пересекающихся цилиндров. Архимед приписывает честь открытия этого принципа Демокриту (470-380 гг. до н.э.) – древнегреческому философу-материалисту. С помощью этого принципа Демокрит получил формулу для вычисления объема пирамиды и конуса.

Много сделала для геометрии школа Платона (428-348 гг. до н.э.). Платон был учеником Сократа (470-399 гг. до н.э.). Он в 387 г. до н.э. основал в Африке Академию, в которой работал 20 лет. Каждый, входящий в Академию, читал надпись: “Пусть сюда не входит никто, не знающий геометрии”. Школе Платона, в частности, принадлежит: а) исследование свойств призмы, пирамиды, цилиндра и конуса; б) изучение конических сечений.

Большой трактат о конических сечениях был написан Аполлонием Пергским (260-170 гг. до н.э.) – учеником Евклида (III в. До н.э.), который создал великий труд из 15 книг под названием “Начала”.

ОПРЕДЕЛЕНИЯ:

Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей   L    , называется конусом, вершина конической поверхности – вершиной конуса, отрезки образующих, заключённые между вершиной и основанием – образующими конуса, а образованная ими часть конической поверхности – боковой поверхностью конуса.

Ось конической поверхности называется осью конуса, а её отрезок между вершиной и основанием – высотой конуса. Запомните, что все образующие конуса равны друг другу.

Конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов.

   Рассмотрим сечение конуса различными плоскостями. Если секущая плоскость проходит через ось конуса, то сечение представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого – диаметр основания конуса, а боковые стороны – образующие конуса. Это сечение называется осевым. Если секущая плоскость перпендикулярна к оси конуса, то сечение конуса – круг с центром О₁, расположенным на оси конуса.

Боковую поверхность конуса можно развернуть на плоскость, разрезав её по одной из образующих. Развёртка боковой поверхности конуса – круговой сектор, радиус которого равен образующей конуса, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса.

     Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую:

                          S = πrl

Площадью полной поверхности конуса называется сумма площадей боковой поверхности и основания, поэтому формула площади полной поверхности конуса:

                              S  = π  r(l + r)

 ЗАДАНИЕ:

1. Сделать конспект, выписав определения, зарисовав конус и указав основание, вершину, образующую, высоту конуса. (для этого можете обратиться к учебнику – «Геометрия 10-11), автор Л.С. Атанасян и др.) стр.135  параграф 61 – 62.

2. Решить задачи: №555, 561.

  Решение задач на нахождение элементов конуса. (По готовым чертежам). (Слайд с 4 по 7)

ЗАПОЛНИТЕ ТАБЛИЦУ,  РЕШИВ ЭТИ ЗАДАЧИ

	1	2	3	4	5
l			2	2
r	1,5				3
h	1,5
S					9
a		300

l – образующая конуса, r – радиус его основания, h - высота, S – площадь осевого сечения, a – угол образующей с осью.

Оценка 5 – все выполнено верно.

Оценка 4 – допущено не больше двух ошибок.

Оценка 3 – допущено не больше четырех ошибок.

Оценка 2 – допущено больше четырех ошибок.

 Дополнительная информация о конусе.

1. В геологии существует понятие “конус выноса”. Это форма рельефа, образованная скоплением обломочных пород (гальки, гравия, песка), вынесенными горными реками на предгорную равнину или в более плоскую широкую долину.
2. В биологии есть понятие “конус нарастания”. Это верхушка побега и корня растений, состоящая из клеток образовательной ткани.
3. “Конусами” называется семейство морских моллюсков подкласса переднежаберных. Раковина коническая (2-16 см), ярко окрашенная. Конусов свыше 500 видов. Живут в тропиках и субтропиках, являются хищниками, имеют ядовитую железу. Укус конусов очень болезнен. Известны смертельные случаи. Раковины используются как украшения, сувениры.
4. По статистике на Земле ежегодно гибнет от разрядов молний 6 человек на 1 000 000 жителей (чаще в южных странах). Этого бы не случалось, если бы везде были громоотводы, так как образуется конус безопасности. Чем выше громоотвод, тем больше объем такого конуса. некоторые люди пытаются спрятаться от разрядов под деревом, но древо не проводник, на нем заряды накапливаются и дерево может быть источником напряжения.
5. В физике встречается понятие “телесный угол”. Это конусообразный угол, вырезанный в шаре. Единица измерения телесного угла – 1 стерадиан. 1 стерадиан – это телесный угол, квадрат радиуса которого равен площади части сферы, которую он вырезает. Если в этот угол поместить источник света в 1 канделу (1 свечу), то получим световой поток в 1 люмен. Свет от киноаппарата, прожектора распространяется в виде конуса.

Итак, мы с вами познакомились с понятием конуса, его элементов и научились решать задачи на нахождение элементов конуса. Вопрос о конусе важен, так как конические детали имеются во многих машинах и механизмах. В автомобилях, танках, бронетранспортерах – конические шестерни; носовая часть самолетов и ракет имеет коническую форму.